Netto nåverdi (NPV)

NPV er det viktigste beslutningsverktøyet i finans. Vi diskonterer alle fremtidige kontantstrømmer til nåverdi og trekker fra investeringsutlegget:

$$NPV = -I_0 + \sum_{t=1}^{T} \frac{CF_t}{(1 + r)^t}$$

Beslutningsregel: NPV > 0 → gjennomfør prosjektet. Et positivt NPV betyr at prosjektet skaper verdi utover avkastningskravet.

Internrente (IRR)

IRR er den diskonteringsraten som gir NPV = 0. Den representerer prosjektets effektive avkastning.

Beslutningsregel: IRR > avkastningskrav → gjennomfør.

Ved gjensidig utelukkende prosjekter kan NPV og IRR gi ulik rangering -- da foretrekkes NPV, fordi den måler absolutt verdiskapning.

Sluttverdi og nåverdi

$$FV = PV \cdot (1 + r)^T$$

$$PV = \frac{FV}{(1 + r)^T}$$

Annuiteter

For like kontantstrømmer hvert år brukes annuitetsformelen:

$$PV = CF \cdot \frac{(1+r)^T - 1}{r \cdot (1+r)^T}$$

Sluttverdien av en annuitet (like årlige innbetalinger):

$$FV = CF \cdot \frac{(1+r)^T - 1}{r}$$

Effektiv rente

Når renten beregnes hyppigere enn årlig:

$$r_{eff} = \left(1 + \frac{r_{nom}}{m}\right)^m - 1$$

Effektiv rente er alltid høyere enn nominell rente (når $m > 1$).

Eksempel -- NPV og IRR (fra eksamen H2024)

Investeringsprosjekt med levetid 5 år, avkastningskrav 13,5 %. Kontantstrøm: år 0: −14, år 1: 4, år 2: 2, år 3: 6, år 4: 5, år 5: 1 (mill. kr).

$$NPV = -14 + \frac{4}{1{,}135} + \frac{2}{1{,}135^2} + \frac{6}{1{,}135^3} + \frac{5}{1{,}135^4} + \frac{1}{1{,}135^5}$$

$$= -14 + 3{,}524 + 1{,}553 + 4{,}114 + 3{,}024 + 0{,}534$$

$$= -14 + 12{,}749 = -1{,}251$$

NPV = −1,25 mill. kr → Prosjektet bør ikke gjennomføres

IRR finnes ved prøving: vi vet at NPV er negativ ved 13,5 %, så IRR < 13,5 %. Prøv lavere renter til NPV = 0.

Eksempel -- Annuitet/sparing (fra eksamen H2024)

Du plasserer kr 10 000 hvert år i et fond med 10 % avkastning. Første innskudd ved inngangen til år 1, siste ved inngangen til år 5. Hva er sluttverdi etter fem år?

Innskuddene skjer ved inngangen til hvert år (annuitet forskudd).

Innskudd 1 (inngang år 1) vokser i 5 år: 10 000 × 1,1⁵ = 16 105

Innskudd 2 (inngang år 2) vokser i 4 år: 10 000 × 1,1⁴ = 14 641

Innskudd 3 (inngang år 3) vokser i 3 år: 10 000 × 1,1³ = 13 310

Innskudd 4 (inngang år 4) vokser i 2 år: 10 000 × 1,1² = 12 100

Innskudd 5 (inngang år 5) vokser i 1 år: 10 000 × 1,1¹ = 11 000

Total sluttverdi: 67 156

Alternativt med formel: $FV = 10\,000 \cdot \frac{1{,}1^5 - 1}{0{,}1} \cdot 1{,}1 = 61\,051 \cdot 1{,}1 = 67\,156$. Faktoren 1,1 korrigerer for forskuddsbetaling.

Studieguide: Investeringsanalyse

Studieguide: Investeringsanalyse