Obligasjonsprising

En obligasjon er et gjeldsinstrument som betaler faste kupongbetalinger og tilbakebetaler pålydende ved forfall. Verdien av en obligasjon er nåverdien av alle fremtidige kontantstrømmer diskontert med markedsrenten:

$$P = \sum_{t=1}^{T} \frac{C}{(1+r)^t} + \frac{PL}{(1+r)^T}$$

Her er $C$ den årlige kupongbetalingen (kupongrente $\times$ pålydende), $PL$ er pålydende (typisk 1000 kr), og $r$ er markedsrenten.

Viktige sammenhenger: Når markedsrenten er lik kupongrenten, handles obligasjonen til par (pris = pålydende). Når markedsrenten er høyere, handles den under par. Når markedsrenten er lavere, handles den over par.

Nullkupongobligasjoner og spotrenter

En nullkupongobligasjon har ingen kupongbetalinger — den betaler kun pålydende ved forfall. Prisen er:

$$P = \frac{PL}{(1+r_t)^t}$$

Spotrenten $r_t$ for år $t$ er markedsrenten som gjelder for kontantstrømmer på det tidspunktet. Spotrenter utledes direkte fra nullkupongpriser:

$$r_t = \left(\frac{PL}{P}\right)^{1/t} - 1$$

Terminrenter (forward rates)

Terminrenten mellom år $t-1$ og $t$ er den renten som forhindrer arbitrasje mellom å investere i en $t$-årig nullkupong og å rulle over kortere nullkuponger:

$$f_{t-1,t} = \frac{(1+r_t)^t}{(1+r_{t-1})^{t-1}} - 1$$

Durasjon

Durasjon måler obligasjonens rentefølsomhet — den vektede gjennomsnittlige tiden til kontantstrømmene. Macaulay-durasjon beregnes som:

$$D = \sum_{t=1}^{T} t \cdot \frac{PV(CF_t)}{P}$$

Viktige egenskaper: (1) En nullkupongobligasjon har durasjon lik løpetiden. (2) Høyere kupongrente gir lavere durasjon fordi mer av verdien mottas tidlig. (3) Høyere markedsrente gir lavere durasjon.

Eksempel 1 — Obligasjonspris og spotrenter (H2025, oppg. 2a og 2c)

En obligasjon med 3 år til forfall, pålydende 1 000 kr, kupongrente 2 %, markedsrente 5 %.

$$P = \frac{20}{1{,}05} + \frac{20}{(1{,}05)^2} + \frac{1020}{(1{,}05)^3}$$

$$= 19{,}05 + 18{,}14 + 881{,}17 = 918{,}36 \text{ kr}$$

Nullkupongobligasjoner med pris 960, 915, 860 (pålydende 1000). Spotrentene:

$$r_1 = \frac{1000}{960} - 1 = 4{,}17\%$$

$$r_2 = \left(\frac{1000}{915}\right)^{1/2} - 1 = 4{,}54\%$$

$$r_3 = \left(\frac{1000}{860}\right)^{1/3} - 1 = 5{,}17\%$$

Terminrente mellom år 2 og 3:

$$f_{2,3} = \frac{(1{,}0517)^3}{(1{,}0454)^2} - 1 = \frac{1{,}1628}{1{,}0929} - 1 = 6{,}40\%$$

Eksempel 2 — Durasjon (V2025, oppg. 2b)

Obligasjon: 4 år til forfall, pålydende 1 000, kupongrente 6 %, markedsrente 5 %. Pris = 1 035,46.

$$PV(CF_1) = \frac{60}{1{,}05} = 57{,}14 \quad \Rightarrow \quad 1 \cdot \frac{57{,}14}{1035{,}46} = 0{,}0552$$

$$PV(CF_2) = \frac{60}{(1{,}05)^2} = 54{,}42 \quad \Rightarrow \quad 2 \cdot \frac{54{,}42}{1035{,}46} = 0{,}1051$$

$$PV(CF_3) = \frac{60}{(1{,}05)^3} = 51{,}83 \quad \Rightarrow \quad 3 \cdot \frac{51{,}83}{1035{,}46} = 0{,}1502$$

$$PV(CF_4) = \frac{1060}{(1{,}05)^4} = 872{,}06 \quad \Rightarrow \quad 4 \cdot \frac{872{,}06}{1035{,}46} = 3{,}3684$$

$$D = 0{,}0552 + 0{,}1051 + 0{,}1502 + 3{,}3684 = 3{,}68 \text{ år}$$

Durasjonen (3,68 år) er kortere enn løpetiden (4 år) fordi kupongbetalingene trekker tyngdepunktet fremover i tid.

Aksjeemisjoner og tegningsretter

Når et selskap trenger ny egenkapital, kan det gjennomføre en fortrinnsrettsemisjon. Eksisterende aksjonærer får tegningsretter som gir rett til å kjøpe nye aksjer til rabattert kurs.

Formlene (6 og 7 på formelarket):

$$P_X = \frac{n \cdot P_0 + m \cdot P_e}{n + m}$$

Her er $n$ antall gamle aksjer, $m$ nye aksjer, $P_0$ gammel kurs, $P_e$ emisjonskurs. Tegningsrettens verdi:

$$T_n = \frac{P_0 - P_e}{N + 1}$$

der $N$ er antall gamle aksjer per ny aksje ($N = n/m$).

Eksempel 3 — Aksjeemisjon (V2025, oppg. 1)

Nordic Solutions AS: trenger 30 MNOK, emisjonskurs 80 kr, aksjekurs 90 kr, 40 000 000 aksjer utestående.

Nye aksjer: $m = 30\,000\,000 / 80 = 375\,000$

$$P_X = \frac{40\,000\,000 \cdot 90 + 375\,000 \cdot 80}{40\,000\,000 + 375\,000} = \frac{3\,630\,000\,000}{40\,375\,000} = 89{,}91 \text{ kr}$$

$$N = \frac{40\,000\,000}{375\,000} = 106{,}67$$

$$T_n = \frac{90 - 80}{106{,}67 + 1} = \frac{10}{107{,}67} = 0{,}093 \text{ kr}$$

Ex-rights kursen faller kun marginalt (fra 90 til 89,91) fordi emisjonen er svært liten relativt til selskapet. Hver tegningsrett er verdt ca. 9 øre.

Studieguide: Langsiktig finansiering

Studieguide: Langsiktig finansiering