Studieguide for MET 1190 Statistikk

Oversikt

Deskriptiv statistikk handler om å oppsummere et datasett med noen få nøgletal. Vi skiller mellom sentralmål (hvor ligger dataene?) og spredningsmål (hvor spredt er de?). Disse målene er byggesteinene for alt annet i statistikken.

Sentralmål

Gjennomsnitt (aritmetisk middel) er summen av alle verdier delt på antall observasjoner:

$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$$

Gjennomsnittet er sensitivt for ekstremverdier (uteliggere). En enkelt veldig høy eller lav verdi kan trekke gjennomsnittet kraftig i sin retning.

Median er den midterste verdien når dataene er sortert i stigende rekkefølge:

$$\tilde{x} = \begin{cases} x_{(n+1)/2} & \text{hvis } n \text{ er oddetall} \\ \frac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2} & \text{hvis } n \text{ er partall} \end{cases}$$

Medianen er robust mot uteliggere og gir ofte et bedre bilde av "typisk verdi" i skjeve fordelinger.

Spredningsmål

Utvalgsvarians måler gjennomsnittlig kvadratisk avvik fra gjennomsnittet. Vi deler på $n-1$ (ikke $n$) for å få en forventningsrett estimator:

$$s_X^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$

Utvalgets standardavvik er kvadratroten av variansen og har samme måleenhet som dataene:

$$s_X = \sqrt{s_X^2}$$

Intuisjon: Hvorfor $n-1$?

Vi deler på $n-1$ i stedet for $n$ fordi vi bruker $\bar{x}$ (som selv er estimert fra dataene) i stedet for den sanne populasjonsforventningen $\mu$. Dette koster oss en "frihetsgrad". Hadde vi kjent $\mu$, ville vi delt på $n$. Denne korreksjonen (Bessels korreksjon) sikrer at $E(S_X^2) = \sigma^2$, dvs. at utvalgsvariansen er en forventningsrett estimator for populasjonsvariansen.