Oversikt

Deskriptiv statistikk handler om a oppsummere et datasett med noen fa nogletal. Vi skiller mellom sentralmal (hvor ligger dataene?) og spredningsmal (hvor spredt er de?). Disse malene er byggesteinene for alt annet i statistikken.

Sentralmal

Gjennomsnitt (aritmetisk middel) er summen av alle verdier delt pa antall observasjoner:

$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$$

Gjennomsnittet er sensitivt for ekstremverdier (uteliggere). En enkelt veldig hoy eller lav verdi kan trekke gjennomsnittet kraftig i sin retning.

Median er den midterste verdien nar dataene er sortert i stigende rekkefolge:

$$\tilde{x} = \begin{cases} x_{(n+1)/2} & \text{hvis } n \text{ er oddetall} \\ \frac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2} & \text{hvis } n \text{ er partall} \end{cases}$$

Medianen er robust mot uteliggere og gir ofte et bedre bilde av "typisk verdi" i skjeve fordelinger.

Spredningsmal

Utvalgsvarians maler gjennomsnittlig kvadratisk avvik fra gjennomsnittet. Vi deler pa $n-1$ (ikke $n$) for a fa en forventningsrett estimator:

$$s_X^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$

Utvalgets standardavvik er kvadratroten av variansen og har samme maleenhet som dataene:

$$s_X = \sqrt{s_X^2}$$

Intuisjon: Hvorfor $n-1$?

Vi deler pa $n-1$ i stedet for $n$ fordi vi bruker $\bar{x}$ (som selv er estimert fra dataene) i stedet for den sanne populasjonsforventningen $\mu$. Dette koster oss en "frihetsgrad". Hadde vi kjent $\mu$, ville vi delt pa $n$. Denne korreksjonen (Bessels korreksjon) sikrer at $E(S_X^2) = \sigma^2$, dvs. at utvalgsvariansen er en forventningsrett estimator for populasjonsvariansen.

Eksempel 1: Beregn gjennomsnitt og varians

Oppgave: Et utvalg av $n = 31$ ungdommers sovntimer ga: $\sum x_i = 229.40$ og $\sum(x_i - \bar{x})^2 = 77.41$. Beregn gjennomsnitt og standardavvik.

Losning:

$$\bar{x} = \frac{229.40}{31} = 7.40 \text{ timer}$$

$$s_X^2 = \frac{77.41}{31 - 1} = \frac{77.41}{30} = 2.5803$$

$$s_X = \sqrt{2.5803} \approx 1.606 \text{ timer}$$

Kilde: Eksamen H2024 / V2024, Oppgave 4

Eksempel 2: Median av sortert datasett

Oppgave: Gitt den sorterte datasekvensen: $-3, -1, -1, 0, 2, 4, 7, 8$ ($n = 8$, partall). Finn medianen.

Losning: Siden $n = 8$ er partall, er medianen gjennomsnittet av observasjon nr. $n/2 = 4$ og $n/2 + 1 = 5$:

$$\tilde{x} = \frac{x_4 + x_5}{2} = \frac{0 + 2}{2} = 1$$

I R: (x[n/2] + x[(n/2)+1])/2

Kilde: Eksamen V2025, P1

Eksempel 3: Beregne hastighetsstatistikk

Oppgave: UP malte hastigheten til $n = 31$ bilister. Oppsummeringsdata: $\sum x_i = 3205.40$, $\sum(x_i - \bar{x})^2 = 4434.70$. Beregn gjennomsnitt og standardavvik.

Losning:

$$\bar{x} = \frac{3205.40}{31} = 103.40 \text{ km/t}$$

$$s_X^2 = \frac{4434.70}{30} = 147.823$$

$$s_X = \sqrt{147.823} \approx 12.16 \text{ km/t}$$

Studieguide: Deskriptiv statistikk

Studieguide: Deskriptiv statistikk