Hva er en estimator?

En estimator $\hat{\theta}$ er en funksjon av utvalgsdata som brukes til a anslaa en ukjent populasjonsparameter $\theta$. For eksempel er $\bar{X}$ en estimator for $\mu$, og $S_X^2$ er en estimator for $\sigma^2$.

De tre sentrale egenskapene

1. Forventningsretthet (unbiasedness):

$$E(\hat{\theta}) = \theta$$

Estimatoren treffer "riktig" i gjennomsnitt. Den systematiske feilen (bias) er null. Eksempel: $E(\bar{X}) = \mu$ og $E(S_X^2) = \sigma^2$.

2. Konsistens:

$$\hat{\theta} \to \theta \quad \text{nar } n \to \infty$$

Estimatoren konvergerer mot den sanne verdien nar utvalget vokser. I praksis betyr dette at for store $n$ blir estimatet veldig presist.

3. Effisiens:

En effisient estimator har minst mulig varians blant alle forventningsrette estimatorer. Jo lavere varians, desto mer presise estimater.

Sammenheng mellom egenskapene

En estimator kan vare forventningsrett men ikke konsistent (sjelden i praksis), eller konsistent men ikke forventningsrett (bias som forsvinner for stort $n$). Ideelt vil vi ha alle tre egenskapene.

Eksempel 1: Vis at $S_X^2$ er forventningsrett

Oppgave (H2024): La $X_i$ ha forventning $\mu$ og varians $\sigma^2$. Gitt at $E(X_i^2) = \sigma^2 + \mu^2$ og $E(\bar{X}^2) = \sigma^2/n + \mu^2$. Vis at $E(S_X^2) = \sigma^2$.

Losning: Vi skriver om $S_X^2$:

$$S_X^2 = \frac{1}{n-1}\sum(X_i - \bar{X})^2 = \frac{1}{n-1}\left(\sum X_i^2 - n\bar{X}^2\right)$$

Dermed:

$$E(S_X^2) = \frac{1}{n-1}\left(\sum E(X_i^2) - nE(\bar{X}^2)\right)$$

$$= \frac{1}{n-1}\left(n(\sigma^2 + \mu^2) - n\left(\frac{\sigma^2}{n} + \mu^2\right)\right)$$

$$= \frac{1}{n-1}\left(n\sigma^2 + n\mu^2 - \sigma^2 - n\mu^2\right) = \frac{(n-1)\sigma^2}{n-1} = \sigma^2$$

Konklusjon: $S_X^2$ er en forventningsrett estimator for $\sigma^2$. Basert pa dette: $S_X^2$ er forventningsrett.

Eksempel 2: Forventning og varians til utvalgsgjennomsnitt

Oppgave: Vis at $\bar{X}$ er forventningsrett og konsistent for $\mu$.

Losning:

Forventningsretthet: $E(\bar{X}) = E\left(\frac{1}{n}\sum X_i\right) = \frac{1}{n}\sum E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu$ $\checkmark$

Konsistens: $Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} \to 0$ nar $n \to \infty$.

Siden forventningen er $\mu$ (konstant) og variansen gar mot 0, konvergerer $\bar{X}$ mot $\mu$.

Eksempel 3: Median som estimator

Oppgave (H2025): Utvalgsmedian $\tilde{X}$ er en estimator for populasjonsmedian $m$. For normalfordelt populasjon gjelder $m = \mu$. Vis at $\tilde{X}$ er forventningsrett og konsistent for $\mu$.

Losning: Gitt at $\tilde{X} \sim N(\mu, \pi\sigma^2/(2n))$ tilnarmet. Da:

$E(\tilde{X}) = \mu$ (forventningsrett)

$Var(\tilde{X}) = \pi\sigma^2/(2n) \to 0$ nar $n \to \infty$ (konsistent)

Men $Var(\tilde{X}) = \pi\sigma^2/(2n) > \sigma^2/n = Var(\bar{X})$, sa medianen er mindre effisient enn gjennomsnittet for normalfordelte data.

Hva er en estimator?

De tre sentrale egenskapene

Sammenheng mellom egenskapene

Eksempel 1: Vis at \(S_X^2\) er forventningsrett

Eksempel 2: Forventning og varians til utvalgsgjennomsnitt

Eksempel 3: Median som estimator

Studieguide: Estimatorteori