Hva er et konfidensintervall?

Et $100(1-\alpha)\%$ konfidensintervall er et intervall $[\hat{\theta} - ME, \hat{\theta} + ME]$ som, ved gjentatt sampling, vil inneholde den sanne parameterverdien i $100(1-\alpha)\%$ av tilfellene. Merk: Det er intervallet som er tilfeldig, ikke parameteren!

Fire typer konfidensintervaller

1. For populasjonsandelen $p$:

$$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

2. For $\mu$ nar $\sigma$ er kjent:

$$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

3. For $\mu$ nar $\sigma$ er ukjent:

$$\bar{x} \pm t_{\alpha/2} \cdot \frac{s_X}{\sqrt{n}}$$

med $df = n - 1$ frihetsgrader.

4. Valg av z eller t?

Situasjon	Fordeling
$\sigma$ kjent	$z$-fordeling (normalfordelingstabell)
$\sigma$ ukjent, stort $n$	$t$-fordeling (men tilnarmet lik $z$)
$\sigma$ ukjent, lite $n$	$t$-fordeling (krever normalitet!)

Vanlige kritiske verdier

Konfidensniva	$\alpha$	$z_{\alpha/2}$
90%	0.10	1.645
95%	0.05	1.960
99%	0.01	2.576

Eksempel 1: KI for gjennomsnitt (sigma ukjent)

Oppgave (H2024): UP malte $n = 31$ bilisters hastighet: $\bar{x} = 103.40$, $s_X^2 = 147.823$. Beregn et 90% konfidensintervall for forventet hastighet.

Losning: $\sigma$ er ukjent, sa vi bruker $t$-fordeling med $df = 30$.

Fra $t$-tabellen: $t_{0.05, 30} = 1.6973$ (tosidig 90%, sa vi bruker $\alpha/2 = 0.05$).

$$ME = t_{0.05} \cdot \frac{s_X}{\sqrt{n}} = 1.6973 \cdot \frac{\sqrt{147.823}}{\sqrt{31}} = 1.6973 \cdot \frac{12.158}{5.568} = 1.6973 \cdot 2.184 \approx 3.71$$

$$KI: [103.40 - 3.71,\; 103.40 + 3.71] = [99.69,\; 107.11]$$

Tolkning: Intervallet inneholder 100 km/t (fartsgrensen), sa vi kan ikke pa 90% niva si at gjennomsnittshastigheten er over fartsgrensen.

Eksempel 2: KI for populasjonsandel

Oppgave (V2025): 144 av 265 respondenter tror pa positiv okonomisk utvikling. Beregn et 90% KI for den sanne andelen.

Losning: $\hat{p} = 144/265 \approx 0.5434$, $n = 265$, $z_{0.05} = 1.645$.

$$ME = 1.645 \cdot \sqrt{\frac{0.5434 \cdot 0.4566}{265}} = 1.645 \cdot \sqrt{\frac{0.2481}{265}} = 1.645 \cdot 0.0306 \approx 0.0503$$

$$KI: [0.5434 - 0.0503,\; 0.5434 + 0.0503] = [0.493,\; 0.594]$$

Intervallet inneholder 0.50, sa vi kan ikke med 90% konfidens si at flertallet er positive.

Eksempel 3: R-kode for KI

Oppgave (H2025): For hastighetsdata med $n = 31$, hva er korrekt R-kode for 90% tosidig KI for $\mu$?

Losning: t.test(x, conf.level = 0.90)

Merk: t.test brukes for KI for gjennomsnitt, prop.test for KI for andeler. Ikke bland disse!

Situasjon	Fordeling
\(\sigma\) kjent	\(z\)-fordeling (normalfordelingstabell)
\(\sigma\) ukjent, stort \(n\)	\(t\)-fordeling (men tilnarmet lik \(z\))
\(\sigma\) ukjent, lite \(n\)	\(t\)-fordeling (krever normalitet!)

Studieguide: Konfidensintervall

Studieguide: Konfidensintervall