Kovarians

Utvalgkovarians maler lineaer samvariasjon mellom to variabler $X$ og $Y$:

$$s_{XY} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$$

Positiv kovarians betyr at variablene tenderer til a vare haye eller lave samtidig. Negativ kovarians betyr at nar den ene er hay, er den andre lav.

For tilfeldige variabler (populasjonskovarians):

$$Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] = E(XY) - E(X)E(Y)$$

Regneregler for kovarians

Disse reglene er essensielle for bevisoppgaver:

$Cov(X, a) = 0$ (kovarians med en konstant er 0)
$Cov(aX, bY) = ab \cdot Cov(X, Y)$
$Cov(X + Z, Y) = Cov(X, Y) + Cov(Z, Y)$
Dersom $X$ og $Y$ er uavhengige: $Cov(X, Y) = 0$

VIKTIG: $Cov(X, Y) = 0$ betyr IKKE nodvendigvis at $X$ og $Y$ er uavhengige!

Korrelasjon

Utvalgskorrelasjon:

$$r_{XY} = \frac{s_{XY}}{s_X \cdot s_Y}$$

Populasjonskorrelasjon:

$$\rho(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{Std(X) \cdot Std(Y)}$$

Korrelasjonen har verdier mellom $-1$ og $1$. $|r|$ narm 1 betyr sterk lineaer sammenheng.

Varians av lineaerkombinasjoner

Den generelle regelen:

$$Var(aX + bY + cZ) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + c^2 Var(Z) + 2ab \cdot Cov(X,Y) + 2ac \cdot Cov(X,Z) + 2bc \cdot Cov(Y,Z)$$

Dersom variablene er uavhengige, forsvinner kovarians-leddene.

Eksempel 1: Kovarians og korrelasjon fra lineaerkombinasjoner

Oppgave (V2025): La $Z_1$ og $Z_2$ vare uavhengige standard normalfordelte. $X = aZ_1 + bZ_2$ og $Y = cZ_2$. Vis at $Cov(X, Y) = bc$.

Losning:

$$Cov(X, Y) = Cov(aZ_1 + bZ_2, cZ_2)$$

$$= Cov(aZ_1, cZ_2) + Cov(bZ_2, cZ_2)$$

$$= ac \cdot Cov(Z_1, Z_2) + bc \cdot Cov(Z_2, Z_2)$$

Siden $Z_1$ og $Z_2$ er uavhengige: $Cov(Z_1, Z_2) = 0$, og $Cov(Z_2, Z_2) = Var(Z_2) = 1$:

$$Cov(X, Y) = 0 + bc \cdot 1 = bc$$

Eksempel 2: Beregn korrelasjon

Oppgave (V2025): Med $Var(X) = a^2 + b^2$, $Var(Y) = c^2$, og $Cov(X,Y) = bc$, finn $\rho(X,Y)$.

Losning:

$$\rho(X, Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)} \cdot \sqrt{Var(Y)}} = \frac{bc}{\sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{c^2}} = \frac{bc}{c\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

For $a = 3, b = 1, c = 2$: $\rho = \frac{1}{\sqrt{9+1}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0.316$

Studieguide: Kovarians og korrelasjon