Standard normalfordeling

En tilfeldig variabel $X$ er normalfordelt med forventning $\mu$ og varians $\sigma^2$ hvis tetthetsfunksjonen er:

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x - \mu)^2}$$

Vi skriver $X \sim N(\mu, \sigma^2)$. Standard normalfordeling er spesialtilfellet $Z \sim N(0, 1)$.

Standardisering (Z-transformasjon)

Enhver normalfordelt variabel kan transformeres til standard normalfordelt:

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

Dette er noykkelen til a bruke normalfordelingstabellen. Tabellen gir $P(Z \le z)$, dvs. arealet til venstre for $z$.

Nyttige egenskaper

Normalfordelingen er symmetrisk rundt $\mu$
$P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z)$ (symmetri)
Ca. 68% av verdiene ligger innenfor $\pm 1\sigma$ fra $\mu$
Ca. 95% innenfor $\pm 2\sigma$, ca. 99.7% innenfor $\pm 3\sigma$

R-funksjoner for normalfordelingen

Forstaa forskjellen mellom disse R-funksjonene er kritisk for Oppgave 1:

pnorm(x, mean, sd): $P(X \le x)$ (kumulativ, venstre hale)
pnorm(x, mean, sd, lower.tail=FALSE): $P(X > x)$ (hoyre hale)
qnorm(p, mean, sd): Finner $x$ slik at $P(X \le x) = p$ (kvantil)

Viktig: I R-funksjonen pnorm oppgir du standardavviket $\sigma$, ikke variansen $\sigma^2$!

Eksempel 1: IQ-sannsynlighet

Oppgave (V2024, H2024): IQ er normalfordelt med $\mu = 100$ og $\sigma^2 = 225$ (dvs. $\sigma = 15$). Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig person har IQ mellom 85 og 115?

Losning: Standardiserer begge grenser:

$$Z_1 = \frac{85 - 100}{15} = -1, \quad Z_2 = \frac{115 - 100}{15} = 1$$

$$P(85 \le X \le 115) = P(-1 \le Z \le 1) = P(Z \le 1) - P(Z \le -1)$$

$$= 0.8413 - 0.1587 = 0.6827$$

I R: pnorm(115, mean=100, sd=15) - pnorm(85, mean=100, sd=15)

Eksempel 2: Finne Mensa-grense (kvantil)

Oppgave (V2024): Hva er minste IQ for a kvalifisere for Mensa (topp 2%)?

Losning: Vi soker $x$ slik at $P(X > x) = 0.02$, dvs. $P(X \le x) = 0.98$.

$$Z = \frac{x - 100}{15}$$

Fra tabellen: $P(Z \le 2.05) \approx 0.98$, sa $z \approx 2.05$.

$$x = 100 + 2.05 \cdot 15 = 100 + 30.75 = 130.75$$

I R: qnorm(0.98, mean=100, sd=15)

Eksempel 3: R-kode for normalfordeling

Oppgave (V2024): Avkastning er normalfordelt med $\mu = 0.10$ og $\sigma^2 = 0.04$ (dvs. $\sigma = 0.20$). Beregn sannsynligheten for positiv avkastning.

Losning: $P(X > 0) = 1 - P(X \le 0)$

Korrekt R-kode: pnorm(0, mean = 0.10, sd = 0.20, lower.tail = FALSE)

Alternativt: 1 - pnorm(0, mean = 0.10, sd = 0.20)

Merk: sd = 0.20 (standardavvik), IKKE 0.04 (varians)!

Studieguide: Normalfordeling