Grunnleggende begreper

En hendelse er et utfall eller en samling av utfall fra et eksperiment. Utfallsrommet $S$ er mengden av alle mulige utfall. Sannsynligheten $P(A)$ for en hendelse $A$ er et tall mellom 0 og 1 som angir hvor sannsynlig hendelsen er.

De viktigste sannsynlighetsreglene

Addisjonsregelen:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Vi trekker fra $P(A \cap B)$ for a unnga dobbelttelling. Dersom $A$ og $B$ er disjunkte (gjensidig utelukkende), er $P(A \cap B) = 0$, og formelen forenkles til $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Komplementregelen:

$$P(A^c) = 1 - P(A)$$

Ofte enklere a beregne sannsynligheten for at noe ikke skjer, og sa trekke fra 1.

Betinget sannsynlighet:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Sannsynligheten for $A$ gitt at $B$ har inntruffet. Viktig: $P(A|B) \neq P(B|A)$ generelt!

Multiplikasjonsregelen:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)$$

Bayes formel:

$$P(B|A) = P(A|B) \cdot \frac{P(B)}{P(A)}$$

Brukes til a "snu" betingede sannsynligheter.

Loven om total sannsynlighet:

$$P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|B^c) \cdot P(B^c)$$

Uavhengighet

To hendelser $A$ og $B$ er uavhengige dersom:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Ekvivalent: $P(A|B) = P(A)$. At $B$ inntreffer pavirker ikke sannsynligheten for $A$.

Viktig forskjell: Disjunkte vs. uavhengige

Disjunkte hendelser kan ikke inntreffe samtidig ($P(A \cap B) = 0$). Uavhengige hendelser pavirker ikke hverandre. Hvis $P(A) > 0$ og $P(B) > 0$, sa kan de ikke vare bade disjunkte og uavhengige (fordi disjunkthet betyr at om A inntreffer, sa kan ikke B inntreffe, noe som er det motsatte av uavhengighet).

Eksempel 1: Standardnormalfordeling og sannsynlighetsregler

Oppgave (H2024): La $Z$ vare standard normalfordelt. Definer $A: Z \le 0.2$ og $B: 1 \le Z \le 2$. Vis at $P(A) = 0.5793$ og $P(B) = 0.1359$. Forklar hvorfor $P(A \cap B) = 0$. Beregn $P(A \cup B)$.

Losning:

Fra normalfordelingstabellen: $P(A) = P(Z \le 0.2) = 0.5793$

$$P(B) = P(1 \le Z \le 2) = P(Z \le 2) - P(Z \le 1) = 0.9772 - 0.8413 = 0.1359$$

$P(A \cap B) = 0$ fordi $A$ krever $Z \le 0.2$ mens $B$ krever $Z \ge 1$. Disse kan ikke inntreffe samtidig.

Siden $A$ og $B$ er disjunkte:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.5793 + 0.1359 = 0.7152$$

Eksempel 2: Betinget sannsynlighet med disjunkte hendelser

Oppgave (H2024): Vis at dersom $A$ og $B$ er disjunkte, sa er $P(B^c|A^c) = 1 - \frac{P(B)}{P(A^c)}$.

Losning: Vi bruker definisjonen av betinget sannsynlighet:

$$P(B^c|A^c) = \frac{P(B^c \cap A^c)}{P(A^c)}$$

Siden $A$ og $B$ er disjunkte, er $A \cap B = \emptyset$, og dermed $B \subseteq A^c$. Da er:

$$P(B^c \cap A^c) = P(A^c) - P(B \cap A^c) = P(A^c) - P(B)$$

Sa:

$$P(B^c|A^c) = \frac{P(A^c) - P(B)}{P(A^c)} = 1 - \frac{P(B)}{P(A^c)}$$

Studieguide: Sannsynlighet

Studieguide: Sannsynlighet