Teoremet

La $X_1, \ldots, X_n$ vare et tilfeldig utvalg fra en populasjon med forventning $\mu$ og varians $\sigma^2$. Dersom $n$ er stor, da har vi tilnarmet:

$$\sum_{i=1}^{n} X_i \sim N(n\mu, n\sigma^2)$$

$$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$$

Det geniale er at dette gjelder uansett hva fordelingen til $X_i$-ene er! Selv om de individuelle observasjonene er skjevfordelt, uniformt fordelt, eller noe helt annet, sa vil gjennomsnittet vare tilnarmet normalfordelt nar $n$ er stor nok.

Standardisert form

Vi kan standardisere $\bar{X}$ til en standard normalfordelt variabel:

$$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1) \text{ tilnarmet}$$

Betingelser

Observasjonene ma vare uavhengige
$n$ ma vare "stor nok" (tommelregel: $n \ge 30$)
Populasjonen ma ha endelig forventning og varians

Spesialtilfelle: normalfordelt populasjon

Dersom $X_i$-ene allerede er normalfordelte, sa er $\bar{X}$ eksakt normalfordelt for alle $n$, ikke bare tilnarmet.

Hvorfor er SGT viktig?

SGT er begrunnelsen for at vi kan bruke normalfordelingsbaserte metoder (z-tester, konfidensintervaller) selv nar vi ikke vet hva den underliggende fordelingen er. Sa lenge utvalget er stort nok, fungerer det!

Eksempel 1: Tilnarmet fordeling for vektet gjennomsnitt

Oppgave (V2024): La $X_i$ ($i = 1, \ldots, n$) vare et tilfeldig utvalg med forventning $\mu$ og varians $\sigma^2$. Definer $\bar{V} = \frac{1}{n}\sum a_i X_i$ med $a_i = 1/2^i$. Gitt at $\sum a_i \approx 1$ og $\sum a_i^2 \approx 1/3$. Vis at for store $n$:

$$Z = \frac{\sqrt{3}(n\bar{V} - \mu)}{\sigma}$$

er tilnarmet standard normalfordelt.

Losning: Forst viser vi at $E(\bar{V}) \approx \mu/n$ og $Var(\bar{V}) \approx \sigma^2/(3n^2)$.

For $n\bar{V}$: $E(n\bar{V}) = \mu$ og $Var(n\bar{V}) = \sigma^2/3$.

Ved SGT er $n\bar{V}$ tilnarmet normalfordelt, sa:

$$Z = \frac{n\bar{V} - \mu}{\sqrt{\sigma^2/3}} = \frac{\sqrt{3}(n\bar{V} - \mu)}{\sigma} \sim N(0,1)$$

Eksempel 2: SGT for populasjonsandel

Oppgave: I en undersokelse av $n = 265$ personer svarer 144 ja. La $X_i = 1$ hvis person $i$ svarer ja, og 0 ellers, med $\mu = p$ (andelen i populasjonen). Forklar hvorfor $\hat{p} = \bar{X} = 144/265$ er tilnarmet normalfordelt.

Losning: Hver $X_i$ er en Bernoulli-variabel med $E(X_i) = p$ og $Var(X_i) = p(1-p)$. Siden $n = 265$ er stort, folger det av SGT at:

$$\hat{p} = \bar{X} \sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) \text{ tilnarmet}$$

Dette er grunnlaget for z-tester og konfidensintervaller for populasjonsandelen.

Studieguide: Sentralgrenseteoremet