MET 1333 · BI

Studieguide for MET 1333 Økonometri

Komplett pensumoversikt for økonometri ved BI — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

MET 1333 Økonometri gir deg verktøy for å estimere kausale sammenhenger fra observasjonsdata. Kurset bygger videre på statistikkgrunnlaget fra MET 1190 og introduserer regresjonsanalyse med fokus på forutsetninger, brudd og løsninger. Du lærer å håndtere problemer som utelatt variabel-skjevhet, heteroskedastisitet og endogenitet gjennom teknikker som instrumentvariabler og paneldata. Denne studieguiden dekker de viktigste konseptene og metodene du trenger for å lykkes på eksamen.

Symboloversikt

Her er de viktigste symbolene du møter i kurset. Økonometri bruker mye notasjon — konteksten avgjør tolkningen.

Regresjonsmodellen:

$y_i$ = avhengig variabel | $x_i$ = uavhengig/forklaringsvariabel | $u_i$ = feilledd (uobservert)

$\beta_0$ = konstantledd (intercept) | $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_k$ = populasjonskoeffisienter (sanne, ukjente)

$b_0, b_1$ eller $\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1$ = OLS-estimater (beregnet fra data)

$\hat{y}_i$ = predikert verdi | $\hat{u}_i$ = residual ( $y_i - \hat{y}_i$ )

$n$ = antall observasjoner | $k$ = antall forklaringsvariabler

Modelltilpasning og variasjon:

$SST$ = total kvadratsum ( $\displaystyle \sum(y_i - \bar{y})^2$ ) | $SSR$ = residualkvadratsummen ( $\displaystyle \sum \hat{u}_i^2$ )

$ESS$ = forklart kvadratsum ( $\displaystyle \sum(\hat{y}_i - \bar{y})^2$ ) | $SST = ESS + SSR$

$R^2 = 1 - SSR/SST$ = forklaringskraft | $\bar{R}^2$ = justert $R^2$ (korrigerer for antall variabler)

$\sigma^2$ = populasjonsvariansen til feilleddet | $s^2$ = estimat av $\sigma^2$

Hypotesetesting:

$H_0$ = nullhypotese | $H_1$ = alternativhypotese | $\alpha$ = signifikansnivå (vanligvis $0{,}05$ )

$t$ = testobservator (t-test) | $F$ = testobservator (F-test)

$SE(\hat{\beta}_j)$ = standardfeil til estimat | $p$ -verdi = sannsynlighet for å observere resultat minst like ekstremt under $H_0$

$df$ = frihetsgrader | $t_{\text{krit}}$ = kritisk verdi

Gauss-Markov og OLS-egenskaper:

$E(u|x) = 0$ = null betinget gjennomsnitt (ingen endogenitet)

$\text{Var}(u|x) = \sigma^2$ = homoskedastisitet (konstant varians)

BLUE = Best Linear Unbiased Estimator (OLS under Gauss-Markov)

OVB = Omitted Variable Bias (utelatt variabel-skjevhet): $\text{bias}(b_1) = \beta_2 \cdot \delta_1$

Logaritmiske modeller:

$\ln$ = naturlig logaritme | Level-level: $\beta_1$ = absolutt endring

Log-level: $100 \cdot \beta_1$ = prosentendring i $y$ | Level-log: $\beta_1/100$ = enhetsendring i $y$

Log-log: $\beta_1$ = elastisitet (prosentendring i $y$ per prosentendring i $x$ )

Paneldata:

$y_{it}$ = observasjon for enhet $i$ i periode $t$ | $a_i$ eller $\alpha_i$ = enhets-fast effekt

$\lambda_t$ eller $\delta_t$ = tids-fast effekt | $v_{it} = a_i + u_{it}$ = sammensatt feilledd (RE)

FE = Fast Effekt (within-estimator) | RE = Tilfeldig Effekt (random effects)

$\ddot{y}_{it} = y_{it} - \bar{y}_i$ = de-meaned variabel (innen-transformasjon)

Instrumentvariabler (IV/2SLS):

$z_i$ = instrument | $\hat{x}_i$ = predikert verdi fra førstesteg

2SLS = Two-Stage Least Squares | $\pi_1$ = førstesteg-koeffisient

Relevans: $\text{Cov}(z, x) \neq 0$ (test: $F > 10$ ) | Eksogenitet: $\text{Cov}(z, u) = 0$

Probit/Logit:

$\displaystyle \Lambda(z) = \frac{e^z}{1+e^z}$ = logistisk funksjon (logit) | $\Phi(z)$ = standard normalfordeling (probit)

LPM = Lineær sannsynlighetsmodell | ML = Maximum Likelihood

$OR = e^{\beta_1}$ = odds ratio | AME = gjennomsnittlig marginaleffekt | MEM = marginaleffekt ved gjennomsnitt

Notasjonsforskjeller mellom lærebøker:

Feilledd: $u_i$ (Wooldridge) = $\varepsilon_i$ (andre) = $e_i$ (noen) — alle betyr det samme

Residualkvadrater: $SSR$ (Sum of Squared Residuals, Wooldridge) = $SSE$ (Sum of Squared Errors, andre) — merk at noen bruker $SSR$ for forklart variasjon!

Forklart variasjon: $ESS$ (Explained Sum of Squares) = $SSR$ (hos noen forfattere) = $\text{RegSS}$

Estimater: $b_0, b_1$ = $\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1$ — begge brukes for OLS-estimater

Fast effekt: $a_i$ = $\alpha_i$ = $\mu_i$ = $c_i$ — enhets-spesifikk effekt i paneldata

Enkel regresjon

Enkel regresjonsanalyse med OLS estimerer sammenhengen mellom én avhengig og én uavhengig variabel, og danner grunnlaget for all videre økonometrisk analyse.

Populasjonsmodellen

Den økonometriske modellen for enkel regresjon er $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + u_i$ , der u_i er et stokastisk feilledd som fanger all variasjon i y som ikke forklares av x. Merk forskjellen fra statistikkurset: vi er eksplisitte om at feilleddet u inneholder utelatte variabler, målefeil og tilfeldighet.

OLS-estimering

Ordinary Least Squares (OLS) minimerer $\Sigma\hat{u}_i^2 = \Sigma(y_i - b_0 - b_1 x_i)^2$ . Førsteordensbetingelsene gir: $\displaystyle b_1 = \frac{Cov(x,y)}{Var(x)}$ og $b_0 = \bar{y} - b_1\bar{x}$ . Regresjonslinjen går alltid gjennom punktet $(\bar{x}, \bar{y})$ .

Eksempel: OLS-estimering av enkel regresjonsmodell

Gitt $\displaystyle \sum x_i = 30$ , $\displaystyle \sum y_i = 50$ , $\displaystyle \sum x_i y_i = 220$ , $\displaystyle \sum x_i^2 = 130$ og $n = 5$ . Estimer $\hat{\beta}_0$ og $\hat{\beta}_1$ i modellen $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$ .

Løsning:

$\displaystyle \bar{x} = \frac{30}{5} = 6, \quad \bar{y} = \frac{50}{5} = 10$

$\displaystyle \hat{\beta}_1 = \frac{\sum x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}}{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2} = \frac{220 - 5 \cdot 6 \cdot 10}{130 - 5 \cdot 36} = \frac{220 - 300}{130 - 180} = \frac{-80}{-50} = 1{,}6$

$\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x} = 10 - 1{,}6 \cdot 6 = 10 - 9{,}6 = 0{,}4$

$\hat{y} = 0{,}4 + 1{,}6x$

Én enhets økning i $x$ gir en estimert økning på $1{,}6$ enheter i $y$ . Konstantleddet $\hat{\beta}_0 = 0{,}4$ er forventet verdi av $y$ når $x = 0$ .

Gauss-Markov-forutsetningene

For at OLS skal være BLUE (Best Linear Unbiased Estimator), kreves: (1) Linearitet i parametrene, (2) Tilfeldig utvalg, (3) Variasjon i x, (4) Null betinget gjennomsnitt: E(u|x) = 0 (ingen systematisk sammenheng mellom feilledd og forklaringsvariabel), (5) Homoskedastisitet: Var(u|x) = σ² (konstant varians i feilleddet).

Forutsetning 4 er den mest kritiske. Dersom E(u|x) ≠ 0, er OLS-estimatene forventningsskjeve (biased). Dette oppstår typisk ved utelatte variabler som korrelerer med x.

Forventningsretthet og konsistens

Under forutsetning 1-4 er OLS forventningsrett: $E(b_1) = \beta_1$ . Med alle fem forutsetningene er OLS også effisient – den har lavest varians blant alle lineære forventningsrette estimatorer (Gauss-Markov-teoremet). Konsistens betyr at b₁ konvergerer mot β₁ når n → ∞, og krever svakere forutsetninger enn forventningsretthet.

Goodness of fit

$R^2 = 1 - SSR/SST = ESS/SST$ , der SST = total variasjon, ESS = forklart variasjon, SSR = residualvariasjon. En lav R² betyr ikke nødvendigvis at modellen er dårlig – i tverrsnittsstudier av individdata er R² på 0,10-0,30 vanlig og akseptabelt dersom koeffisientene er meningsfylt estimert.

Hypotesetesting

t-test for H₀: β₁ = 0: $\displaystyle t = \frac{b_1}{SE(b_1)}$ . En t-verdi > 2 (i absoluttverdi) er en god tommelregel for signifikans på 5 % nivå med store utvalg. Husk å rapportere standardfeil eller t-verdier, ikke bare koeffisienten.

Eksempel: Beregning og tolkning av $R^2$

En regresjon av lønn ( $y$ , i tusen kr) på utdanningsår ( $x$ ) gir $\hat{y} = 150 + 12x$ . Observerte verdier gir $\text{SST} = 4800$ og $\text{SSR} = 1200$ . Beregn og tolke $R^2$ .

Løsning:

$\text{ESS} = \text{SST} - \text{SSR} = 4800 - 1200 = 3600$

SSR = residualkvadratsum, ESS = forklart variasjon

$\displaystyle R^2 = 1 - \frac{\text{SSR}}{\text{SST}} = 1 - \frac{1200}{4800} = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$

$\displaystyle R^2 = \frac{\text{ESS}}{\text{SST}} = \frac{3600}{4800} = 0{,}75$

$R^2 = 0{,}75$ betyr at $75\%$ av variasjonen i lønn forklares av utdanningsår. Modellen har god forklaringskraft.

Eksempel: $t$ -test for signifikans av $\hat{\beta}_1$

I en regresjon av bedriftens salg ( $y$ , mill. kr) på markedsføringsutgifter ( $x$ , mill. kr) finner vi $\hat{\beta}_1 = 3{,}2$ med standardfeil $\text{SE}(\hat{\beta}_1) = 1{,}1$ og $n = 25$ observasjoner. Test $H_0: \beta_1 = 0$ mot $H_1: \beta_1 \neq 0$ på $5\%$ signifikansnivå.

Løsning:

$\displaystyle t = \frac{\hat{\beta}_1 - 0}{\text{SE}(\hat{\beta}_1)} = \frac{3{,}2}{1{,}1} \approx 2{,}91$

Testobservator følger

t

-fordeling med

n - 2 = 23

frihetsgrader

$t_{0{,}025,\, 23} \approx 2{,}069$

$|t| = 2{,}91 > 2{,}069 = t_{\text{krit}}$

Vi forkaster $H_0$ . Det er statistisk signifikant sammenheng mellom markedsføring og salg på $5\%$ nivå. Én million kr mer i markedsføring er assosiert med $3{,}2$ mill. kr høyere salg.

Nøkkelformler

•OLS: $\displaystyle b_1 = \frac{\text{Cov}(x,y)}{\text{Var}(x)}$
•Modell: $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + u_i$
• $\displaystyle R^2 = 1 - \frac{SSR}{SST}$
• $t$ -test: $\displaystyle t = \frac{b_1}{SE(b_1)}$

Vanlige feil

⚠️Tolker OLS-koeffisienten kausalt uten å diskutere om E(u|x) = 0 er oppfylt. Korrelasjoner kan skyldes utelatte variabler.
⚠️Fokuserer for mye på R². En høy R² betyr god tilpasning, men sier ingenting om kausalitet eller om koeffisientene er forventningsrette.
⚠️Glemmer å oppgi standardfeil eller t-verdier når de rapporterer regresjonsresultater.

Eksamenstips

💡Vis at du kan tolke koeffisienter presist: «En enhets økning i x er assosiert med en b_1 enhets endring i y, ceteris paribus.»
💡Diskuter alltid forutsetningen E(u|x) = 0 og eventuelle trusler mot den. Det viser økonometrisk modenhet.
💡Kjenn forskjellen mellom forventningsretthet og konsistens, og når hver egenskap er relevant.

Laster...

Laster…

Studieguide for MET 1333 Økonometri

Introduksjon

Symboloversikt

Enkel regresjon

Populasjonsmodellen

OLS-estimering

Eksempel: OLS-estimering av enkel regresjonsmodell

Gauss-Markov-forutsetningene

Forventningsretthet og konsistens

Goodness of fit

Hypotesetesting

Eksempel: Beregning og tolkning av R2R^2R2

Eksempel: ttt-test for signifikans av β^1\hat{\beta}_1β^​1​

Eksempel: Beregning og tolkning av $R^2$

Eksempel: $t$ -test for signifikans av $\hat{\beta}_1$