MET 1333

Studieguide

Komplett gjennomgang av pensum med forklaringer, formler, vanlige feil og eksamenstips.

Introduksjon

MET 1333 Økonometri gir deg verktøy for å estimere kausale sammenhenger fra observasjonsdata. Kurset bygger videre på statistikkgrunnlaget fra MET 1190 og introduserer regresjonsanalyse med fokus på forutsetninger, brudd og løsninger. Du lærer å håndtere problemer som utelatt variabel-skjevhet, heteroskedastisitet og endogenitet gjennom teknikker som instrumentvariabler og paneldata. Denne studieguiden dekker de viktigste konseptene og metodene du trenger for å lykkes på eksamen.

Enkel regresjon

Enkel regresjonsanalyse med OLS estimerer sammenhengen mellom én avhengig og én uavhengig variabel, og danner grunnlaget for all videre økonometrisk analyse.

Populasjonsmodellen

Den økonometriske modellen for enkel regresjon er $y_i = β_0 + β_1x_i + u_i$ , der u_i er et stokastisk feilledd som fanger all variasjon i y som ikke forklares av x. Merk forskjellen fra statistikkurset: vi er eksplisitte om at feilleddet u inneholder utelatte variabler, målefeil og tilfeldighet.

OLS-estimering

Ordinary Least Squares (OLS) minimerer $Σû_i² = Σ(y_i - b_0 - b_1x_i)²$ . Førsteordensbetingelsene gir: $b_1 = Cov(x,y) / Var(x)$ og $b_0 = ȳ - b_1x̄$ . Regresjonslinjen går alltid gjennom punktet (x̄, ȳ).

Eksempel: OLS-estimering av enkel regresjonsmodell

Gitt $\displaystyle \sum x_i = 30$ , $\displaystyle \sum y_i = 50$ , $\displaystyle \sum x_i y_i = 220$ , $\displaystyle \sum x_i^2 = 130$ og $n = 5$ . Estimer $\hat{\beta}_0$ og $\hat{\beta}_1$ i modellen $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$ .

Løsning:

$\displaystyle \bar{x} = \frac{30}{5} = 6, \quad \bar{y} = \frac{50}{5} = 10$

$\displaystyle \hat{\beta}_1 = \frac{\sum x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}}{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2} = \frac{220 - 5 \cdot 6 \cdot 10}{130 - 5 \cdot 36} = \frac{220 - 300}{130 - 180} = \frac{-80}{-50} = 1{,}6$

$\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x} = 10 - 1{,}6 \cdot 6 = 10 - 9{,}6 = 0{,}4$

$\hat{y} = 0{,}4 + 1{,}6x$

Én enhets økning i $x$ gir en estimert økning på $1{,}6$ enheter i $y$ . Konstantleddet $\hat{\beta}_0 = 0{,}4$ er forventet verdi av $y$ når $x = 0$ .

Gauss-Markov-forutsetningene

For at OLS skal være BLUE (Best Linear Unbiased Estimator), kreves: (1) Linearitet i parametrene, (2) Tilfeldig utvalg, (3) Variasjon i x, (4) Null betinget gjennomsnitt: E(u|x) = 0 (ingen systematisk sammenheng mellom feilledd og forklaringsvariabel), (5) Homoskedastisitet: Var(u|x) = σ² (konstant varians i feilleddet).

Forutsetning 4 er den mest kritiske. Dersom E(u|x) ≠ 0, er OLS-estimatene forventningsskjeve (biased). Dette oppstår typisk ved utelatte variabler som korrelerer med x.

Forventningsretthet og konsistens

Under forutsetning 1-4 er OLS forventningsrett: $E(b_1) = β_1$ . Med alle fem forutsetningene er OLS også effisient – den har lavest varians blant alle lineære forventningsrette estimatorer (Gauss-Markov-teoremet). Konsistens betyr at b₁ konvergerer mot β₁ når n → ∞, og krever svakere forutsetninger enn forventningsretthet.

Goodness of fit

$R² = 1 - SSR/SST = ESS/SST$ , der SST = total variasjon, ESS = forklart variasjon, SSR = residualvariasjon. En lav R² betyr ikke nødvendigvis at modellen er dårlig – i tverrsnittsstudier av individdata er R² på 0,10-0,30 vanlig og akseptabelt dersom koeffisientene er meningsfylt estimert.

Hypotesetesting

t-test for H₀: β₁ = 0: $t = b_1 / SE(b_1)$ . En t-verdi > 2 (i absoluttverdi) er en god tommelregel for signifikans på 5 % nivå med store utvalg. Husk å rapportere standardfeil eller t-verdier, ikke bare koeffisienten.

Én enhets økning i $x$ gir en estimert økning på $1{,}6$ enheter i $y$ . Konstantleddet $\hat{\beta}_0 = 0{,}4$ er forventet verdi av $y$ når $x = 0$ .

Eksempel: Beregning og tolkning av $R^2$

En regresjon av lønn ( $y$ , i tusen kr) på utdanningsår ( $x$ ) gir $\hat{y} = 150 + 12x$ . Observerte verdier gir $\text{SST} = 4800$ og $\text{SSR} = 3600$ . Beregn og tolke $R^2$ .

Løsning:

$\text{SSE} = \text{SST} - \text{SSR} = 4800 - 3600 = 1200$

SSE = residualkvadratsum, SSR = forklart variasjon

$\displaystyle R^2 = \frac{\text{SSR}}{\text{SST}} = \frac{3600}{4800} = 0{,}75$

$\displaystyle R^2 = 1 - \frac{\text{SSE}}{\text{SST}} = 1 - \frac{1200}{4800} = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$

$R^2 = 0{,}75$ betyr at $75\%$ av variasjonen i lønn forklares av utdanningsår. Modellen har god forklaringskraft.

Eksempel: $t$ -test for signifikans av $\hat{\beta}_1$

I en regresjon av bedriftens salg ( $y$ , mill. kr) på markedsføringsutgifter ( $x$ , mill. kr) finner vi $\hat{\beta}_1 = 3{,}2$ med standardfeil $\text{SE}(\hat{\beta}_1) = 1{,}1$ og $n = 25$ observasjoner. Test $H_0: \beta_1 = 0$ mot $H_1: \beta_1 \neq 0$ på $5\%$ signifikansnivå.

Løsning:

$\displaystyle t = \frac{\hat{\beta}_1 - 0}{\text{SE}(\hat{\beta}_1)} = \frac{3{,}2}{1{,}1} \approx 2{,}91$

Testobservator følger

t

-fordeling med

n - 2 = 23

frihetsgrader

$t_{0{,}025,\, 23} \approx 2{,}069$

$|t| = 2{,}91 > 2{,}069 = t_{\text{krit}}$

Vi forkaster $H_0$ . Det er statistisk signifikant sammenheng mellom markedsføring og salg på $5\%$ nivå. Én million kr mer i markedsføring er assosiert med $3{,}2$ mill. kr høyere salg.

Nøkkelformler

•OLS: $\displaystyle b_1 = \frac{\text{Cov}(x,y)}{\text{Var}(x)}$
•Modell: $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + u_i$
• $\displaystyle R^2 = 1 - \frac{SSR}{SST}$
• $t$ -test: $\displaystyle t = \frac{b_1}{SE(b_1)}$

Vanlige feil

⚠️Tolker OLS-koeffisienten kausalt uten å diskutere om E(u|x) = 0 er oppfylt. Korrelasjoner kan skyldes utelatte variabler.
⚠️Fokuserer for mye på R². En høy R² betyr god tilpasning, men sier ingenting om kausalitet eller om koeffisientene er forventningsrette.
⚠️Glemmer å oppgi standardfeil eller t-verdier når de rapporterer regresjonsresultater.

Eksamenstips

💡Vis at du kan tolke koeffisienter presist: «En enhets økning i x er assosiert med en b_1 enhets endring i y, ceteris paribus.»
💡Diskuter alltid forutsetningen E(u|x) = 0 og eventuelle trusler mot den. Det viser økonometrisk modenhet.
💡Kjenn forskjellen mellom forventningsretthet og konsistens, og når hver egenskap er relevant.

Laster...

Introduksjon

Enkel regresjon

Enkel regresjonsanalyse med OLS estimerer sammenhengen mellom én avhengig og én uavhengig variabel, og danner grunnlaget for all videre økonometrisk analyse.

Populasjonsmodellen

OLS-estimering

Eksempel: OLS-estimering av enkel regresjonsmodell

Løsning:

$\displaystyle \bar{x} = \frac{30}{5} = 6, \quad \bar{y} = \frac{50}{5} = 10$

$\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x} = 10 - 1{,}6 \cdot 6 = 10 - 9{,}6 = 0{,}4$

$\hat{y} = 0{,}4 + 1{,}6x$

Én enhets økning i $x$ gir en estimert økning på $1{,}6$ enheter i $y$ . Konstantleddet $\hat{\beta}_0 = 0{,}4$ er forventet verdi av $y$ når $x = 0$ .

Gauss-Markov-forutsetningene

Forutsetning 4 er den mest kritiske. Dersom E(u|x) ≠ 0, er OLS-estimatene forventningsskjeve (biased). Dette oppstår typisk ved utelatte variabler som korrelerer med x.

Forventningsretthet og konsistens

Goodness of fit

Hypotesetesting

Én enhets økning i $x$ gir en estimert økning på $1{,}6$ enheter i $y$ . Konstantleddet $\hat{\beta}_0 = 0{,}4$ er forventet verdi av $y$ når $x = 0$ .

Eksempel: Beregning og tolkning av $R^2$

En regresjon av lønn ( $y$ , i tusen kr) på utdanningsår ( $x$ ) gir $\hat{y} = 150 + 12x$ . Observerte verdier gir $\text{SST} = 4800$ og $\text{SSR} = 3600$ . Beregn og tolke $R^2$ .

Løsning:

$\text{SSE} = \text{SST} - \text{SSR} = 4800 - 3600 = 1200$

SSE = residualkvadratsum, SSR = forklart variasjon

$\displaystyle R^2 = \frac{\text{SSR}}{\text{SST}} = \frac{3600}{4800} = 0{,}75$

$\displaystyle R^2 = 1 - \frac{\text{SSE}}{\text{SST}} = 1 - \frac{1200}{4800} = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$

$R^2 = 0{,}75$ betyr at $75\%$ av variasjonen i lønn forklares av utdanningsår. Modellen har god forklaringskraft.

Eksempel: $t$ -test for signifikans av $\hat{\beta}_1$

Løsning:

$\displaystyle t = \frac{\hat{\beta}_1 - 0}{\text{SE}(\hat{\beta}_1)} = \frac{3{,}2}{1{,}1} \approx 2{,}91$

Testobservator følger

t

-fordeling med

n - 2 = 23

frihetsgrader

$t_{0{,}025,\, 23} \approx 2{,}069$

$|t| = 2{,}91 > 2{,}069 = t_{\text{krit}}$

Vi forkaster $H_0$ . Det er statistisk signifikant sammenheng mellom markedsføring og salg på $5\%$ nivå. Én million kr mer i markedsføring er assosiert med $3{,}2$ mill. kr høyere salg.

Studieguide

Introduksjon

Enkel regresjon

Populasjonsmodellen

OLS-estimering

Eksempel: OLS-estimering av enkel regresjonsmodell

Gauss-Markov-forutsetningene

Forventningsretthet og konsistens

Goodness of fit

Hypotesetesting

Eksempel: Beregning og tolkning av R2R^2R2

Eksempel: ttt-test for signifikans av β^1\hat{\beta}_1β^​1​

Studieguide

Introduksjon

Enkel regresjon

Populasjonsmodellen

OLS-estimering

Eksempel: OLS-estimering av enkel regresjonsmodell

Gauss-Markov-forutsetningene

Forventningsretthet og konsistens

Goodness of fit

Hypotesetesting

Eksempel: Beregning og tolkning av R2R^2R2

Eksempel: ttt-test for signifikans av β^1\hat{\beta}_1β^​1​

Eksempel: Beregning og tolkning av $R^2$

Eksempel: $t$ -test for signifikans av $\hat{\beta}_1$

Eksempel: Beregning og tolkning av $R^2$

Eksempel: $t$ -test for signifikans av $\hat{\beta}_1$