Logaritmiske modeller

De fire vanligste spesifikasjonene med logaritmer har ulik tolkning:

Level-level: $y = \beta_0 + \beta_1 x$ – en enhets økning i x gir β₁ enheter endring i y.
Log-level: $\ln(y) = \beta_0 + \beta_1 x$ – en enhets økning i x gir ca. $100 \cdot \beta_1$ prosent endring i y.
Level-log: $y = \beta_0 + \beta_1 \ln(x)$ – 1 prosent økning i x gir β₁/100 enheter endring i y.
Log-log: $\ln(y) = \beta_0 + \beta_1 \ln(x)$ – 1 prosent økning i x gir β₁ prosent endring i y (β₁ er elastisiteten).

Eksempel: Log-log modell og elastisitet

En log-log modell for etterspørsel etter et produkt gir $\ln(q_i) = 4{,}2 - 0{,}85 \ln(p_i) + 0{,}60 \ln(I_i) + \epsilon_i$, der $q$ er kvantum, $p$ er pris og $I$ er inntekt. Tolk koeffisientene.

Løsning:

$\hat{\beta}_{p} = -0{,}85 = \frac{\partial \ln q}{\partial \ln p} = \frac{\% \Delta q}{\% \Delta p}$

I log-log modell er koeffisienten direkte en elastisitet

$\hat{\beta}_{I} = 0{,}60 = \frac{\% \Delta q}{\% \Delta I}$

$1\% \uparrow p \implies 0{,}85\% \downarrow q$

$1\% \uparrow I \implies 0{,}60\% \uparrow q$

Priselastisiteten er $-0{,}85$ (uelastisk etterspørsel), og inntektselastisiteten er $0{,}60$ (normalt gode). Begge tolkes som prosent endring i etterspørsel ved $1\%$ endring i den aktuelle variabelen.

Eksempel: Log-lin modell og semielastisitet

En log-lin modell for bedriftsstørrelse gir $\ln(\text{ansatte}_i) = 2{,}3 + 0{,}12 \cdot \text{alder}_i + \epsilon_i$. Tolk koeffisienten og beregn forventet prosentstig i antall ansatte ved 5 ekstra år.

Løsning:

$\hat{\beta}_1 = 0{,}12 \approx \frac{\Delta \ln(\text{ansatte})}{\Delta \text{alder}} \approx \frac{\% \Delta \text{ansatte}}{100 \cdot \Delta \text{alder}}$

I log-lin modell: koeffisienten $\approx$ prosentvis endring per enhet i $x$

\text{Nøyaktig prosentvis endring per år} = (e^{0{,}12} - 1) \cdot 100\% = (1{,}1275 - 1) \cdot 100\% \approx 12{,}75\%

\text{Ved 5 ekstra år:} \quad (e^{0{,}12 \cdot 5} - 1) \cdot 100\% = (e^{0{,}60} - 1) \cdot 100\% \approx (1{,}822 - 1) \cdot 100\% = 82{,}2\%

Hvert ekstra leveår er assosiert med ca. $12{,}75\%$ flere ansatte. Over 5 år vokser bedriften med ca. $82{,}2\%$ i antall ansatte, alt annet likt.

Eksempel: Kvadratisk modell og vendepunkt

En kvadratisk modell for produktivitet (tusen kr per ansatt) som funksjon av erfaring (år) gir $\hat{y} = 220 + 18{,}4 \cdot \text{erf} - 0{,}52 \cdot \text{erf}^2$. Finn vendepunktet og tolk resultatet.

Løsning:

$\frac{d\hat{y}}{d\,\text{erf}} = 18{,}4 - 2 \cdot 0{,}52 \cdot \text{erf} = 18{,}4 - 1{,}04 \cdot \text{erf}$

Sett den deriverte lik null for å finne maksimum

18{,}4 - 1{,}04 \cdot \text{erf}^* = 0

\text{erf}^* = \frac{18{,}4}{1{,}04} \approx 17{,}7 \text{ år}

\hat{y}^* = 220 + 18{,}4 \cdot 17{,}7 - 0{,}52 \cdot (17{,}7)^2 = 220 + 325{,}7 - 162{,}9 \approx 382{,}8

Produktiviteten øker med erfaring frem til ca. $17{,}7$ år, der den når et maksimum på ca. $382{,}8$ tusen kr per ansatt. Etter dette avtar produktiviteten, noe som kan avspeile at eldre arbeidstakere har utdatert kompetanse.

Polynomisk regresjon

For å fange kurvelineære sammenhenger kan vi inkludere andregradsledd: $y = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2 + u$. Den marginale effekten av x er da $\frac{dy}{dx} = \beta_1 + 2\beta_2 x$, som avhenger av nivået på x. Vendepunktet er ved $x^* = -\frac{\beta_1}{2\beta_2}$.

Interaksjonseffekter

Interaksjonsledd fanger hvordan effekten av én variabel avhenger av nivået på en annen: $y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_3 x_1 x_2 + u$. Den marginale effekten av x₁ blir β₁ + β₃x₂. Typisk brukt med dummyvariabler: interaksjon mellom en kontinuerlig og en dummy-variabel tillater forskjellige stigningstall for ulike grupper.

Modellvalg

Valget mellom lineær og logaritmisk modell bør baseres på teori (er prosentvis endring mer meningsfylt enn absolutt endring?), residualplott (er linearitetsantakelsen oppfylt?) og tilpasning. Merk at R² ikke kan sammenlignes direkte mellom modeller med y og ln(y) som avhengig variabel, siden enhetene er forskjellige.

Standardiserte koeffisienter

For å sammenligne den relative viktigheten av variabler med ulike enheter kan vi bruke standardiserte (beta) koeffisienter: $b_j^* = b_j \cdot (s_{x_j} / s_y)$. En standardisert koeffisient angir endring i y (i standardavvik) per standardavviks endring i x_j.

Studieguide: Ikke-lineære modeller