Ny notasjon i dette kapittelet:

$y_{it}$, $x_{it}$ = observasjon for enhet $i$ i periode $t$ | $N$ = antall enheter | $T$ = antall perioder

$a_i$ eller $\alpha_i$ = enhets-fast effekt (tidskonstant, uobservert)

$\lambda_t$ = tidseffekt (felles sjokk for alle enheter i periode $t$)

$\ddot{y}_{it} = y_{it} - \bar{y}_i$ = innen-transformert variabel (FE)

$v_{it} = a_i + u_{it}$ = sammensatt feilledd (RE) | $H$ = Hausman-testobservator ($\chi^2$-fordelt)

FE = Fast Effekt | RE = Tilfeldig Effekt | LSDV = Least Squares Dummy Variables

Hva er paneldata?

Paneldata (longitudinelle data) kombinerer tverrsnitt og tidsserie: vi observerer N enheter over T tidsperioder. Paneldata har store fordeler sammenlignet med rene tverrsnittsdata: vi kan kontrollere for uobserverbar heterogenitet – tidskonstante egenskaper ved enhetene som vi ikke kan måle direkte (f.eks. bedriftskultur, evnenivå).

Eksempel: Beregning av FE-estimator fra paneldata

To bedrifter ($i = 1, 2$) observeres i to perioder. Bedrift 1: $(x_{11}, y_{11}) = (4, 10)$, $(x_{12}, y_{12}) = (6, 16)$. Bedrift 2: $(x_{21}, y_{21}) = (3, 9)$, $(x_{22}, y_{22}) = (7, 17)$. Beregn FE-estimatoren $\hat{\beta}_{\text{FE}}$.

Løsning:

\bar{x}_1 = \frac{4+6}{2} = 5, \quad \bar{y}_1 = \frac{10+16}{2} = 13

Beregn tidsgjennomsnittet for hver enhet

\bar{x}_2 = \frac{3+7}{2} = 5, \quad \bar{y}_2 = \frac{9+17}{2} = 13

\ddot{x}_{11} = 4 - 5 = -1,\ \ddot{x}_{12} = 6 - 5 = 1,\ \ddot{x}_{21} = 3 - 5 = -2,\ \ddot{x}_{22} = 7 - 5 = 2

\ddot{y}_{11} = -3,\ \ddot{y}_{12} = 3,\ \ddot{y}_{21} = -4,\ \ddot{y}_{22} = 4

\hat{\beta}_{\text{FE}} = \frac{\sum_i \sum_t \ddot{x}_{it}\ddot{y}_{it}}{\sum_i \sum_t \ddot{x}_{it}^2} = \frac{(-1)(-3) + (1)(3) + (-2)(-4) + (2)(4)}{1 + 1 + 4 + 4} = \frac{3 + 3 + 8 + 8}{10} = \frac{22}{10} = 2{,}2

FE-estimatoren $\hat{\beta}_{\text{FE}} = 2{,}2$ betyr at én enhets økning i kapital innenfor en bedrift over tid er assosiert med $2{,}2$ enheter økning i investering, kontrollert for tidskonstante bedriftsspesifikke faktorer.

Fast effekt-modellen (FE)

Modellen: $y_{it} = \beta_1 x_{it} + a_i + u_{it}$, der a_i er en enhets-spesifikk fast effekt. FE-estimatoren fjerner a_i gjennom within-transformasjonen: trekk fra enhetsgjennomsnittet for å få $(y_{it} - \bar{y}_i) = \beta_1(x_{it} - \bar{x}_i) + (u_{it} - \bar{u}_i)$.

Ekvivalent kan vi inkludere N-1 dummyvariabler for enhetene (LSDV – Least Squares Dummy Variables). FE kontrollerer for alle tidskonstante uobserverbare faktorer, uavhengig av om de korrelerer med x.

Eksempel: Fast effekt (FE) og innen-transformasjon

Et paneldatasett med $n = 3$ bedrifter og $T = 2$ perioder gir følgende observasjoner for investering $y_{it}$ og kapital $x_{it}$. Utfør innen-transformasjonen (within-transformation) for å eliminere fast effekt $\alpha_i$.

Løsning:

y_{it} = \alpha_i + \beta x_{it} + \epsilon_{it}

Fast effekt $\alpha_i$ fanger opp tidskonstante, bedriftsspesifikke egenskaper

\bar{y}_i = \alpha_i + \beta \bar{x}_i + \bar{\epsilon}_i

\ddot{y}_{it} = y_{it} - \bar{y}_i = \beta(x_{it} - \bar{x}_i) + (\epsilon_{it} - \bar{\epsilon}_i)

\ddot{y}_{it} = \beta \ddot{x}_{it} + \ddot{\epsilon}_{it}

Etter innen-transformasjonen er $\alpha_i$ eliminert. FE-estimatoren $\hat{\beta}_{\text{FE}}$ er OLS på de de-meaned variablene $\ddot{y}_{it}$ og $\ddot{x}_{it}$. Identifikasjonen kommer fra variasjon over tid innenfor samme enhet.

Tilfeldig effekt-modellen (RE)

RE behandler a_i som en del av det sammensatte feilleddet $v_{it} = a_i + u_{it}$. RE er mer effisient enn FE (lavere standardfeil), men krever den sterkere forutsetningen $Cov(a_i, x_{it}) = 0$ – altså at de uobserverte enhetsspesifikke faktorene ikke korrelerer med forklaringsvariablene.

Hausman-test

Hausman-testen avgjør valget mellom FE og RE. H₀: RE er konsistent (Cov(a_i, x_it) = 0). Dersom H₀ forkastes, er RE inkonsistent og vi bør bruke FE. Testobservatoren: $H = (b_{FE} - b_{RE})'[Var(b_{FE}) - Var(b_{RE})]^{-1}(b_{FE} - b_{RE})$, som er χ²-fordelt.

Eksempel: Hausman-test: FE versus RE

En Hausman-test sammenligner fast effekt (FE) og tilfeldig effekt (RE) estimatorer. Vi får $\hat{\beta}_{\text{FE}} = 2{,}2$, $\hat{\beta}_{\text{RE}} = 1{,}8$, $\text{Var}(\hat{\beta}_{\text{FE}}) = 0{,}36$ og $\text{Var}(\hat{\beta}_{\text{RE}}) = 0{,}16$. Beregn Hausman-testobservatoren og konkluder.

Løsning:

H = \frac{(\hat{\beta}_{\text{FE}} - \hat{\beta}_{\text{RE}})^2}{\text{Var}(\hat{\beta}_{\text{FE}}) - \text{Var}(\hat{\beta}_{\text{RE}})}

$H$ er asymptotisk $\chi^2(1)$ under $H_0$: begge estimatorer er konsistente

H = \frac{(2{,}2 - 1{,}8)^2}{0{,}36 - 0{,}16} = \frac{(0{,}4)^2}{0{,}20} = \frac{0{,}16}{0{,}20} = 0{,}80

\chi^2_{0{,}05,\, 1} = 3{,}84

H = 0{,}80 < 3{,}84 = \chi^2_{\text{krit}}

Vi kan ikke forkaste $H_0$. FE og RE gir ikke statistisk signifikant ulike estimater, noe som taler for at RE-estimatoren er konsistent og mer effisient. RE anbefales når testen ikke forkaster.

Begrensninger ved fast effekt

FE kan ikke estimere effekten av tidskonstante variabler (f.eks. kjønn, bransje). FE krever variasjon innen enheter over tid. Dersom en variabel endres lite over tid, vil FE-estimatene ha store standardfeil. Dessuten kan FE være følsom for målefeil, fordi within-transformasjonen forsterker støy relativt til signal.

Tidseffekter

I tillegg til enhetseffekter kan vi inkludere tidseffekter (period fixed effects) for å fange opp sjokk som påvirker alle enheter likt i en gitt periode (f.eks. makroøkonomiske sjokk, lovendringer). Modellen blir $y_{it} = \beta_1 x_{it} + a_i + \lambda_t + u_{it}$.

Studieguide: Paneldata

Studieguide: Paneldata