MET 2910

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Matematikk for økonomer

eksamenssett.no

Nøkkelformler per tema

Algebra

• $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ (Abc-formelen for andregradslikninger)
• $\ln(a \cdot b) = \ln a + \ln b, \quad \ln(a/b) = \ln a - \ln b, \quad \ln(a^x) = x\ln a$ (Logaritmeregler)
• $a^n \cdot a^m = a^{n+m}, \quad (a^n)^m = a^{nm}, \quad a^{-n} = 1/a^n$ (Potensregler)
• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \quad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ (Kvadratsetningene)

Funksjonsanalyse

• $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (Stigningstall mellom to punkter)
• $y - y_1 = a(x - x_1)$ (Ettpunktsformelen for lineær funksjon)
• $x_{\text{topp}} = -\frac{b}{2a}$ (Toppunkt/bunnpunkt for andregradsfunksjon $ax^2+bx+c$)
• $\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + \ldots}{b_m x^m + \ldots} = \frac{a_n}{b_m}$ når $n = m$ (Horisontal asymptote)

Derivasjon

• $f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = nx^{n-1}$ (Potensregelen)
• $(g \cdot h)' = g'h + gh'$ (Produktregelen)
• $\left(\frac{g}{h}\right)' = \frac{g'h - gh'}{h^2}$ (Kvotientregelen)
• $f(g(x))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ (Kjerneregelen)
• $y = f(a) + f'(a)(x-a)$ (Tangentlinjen i punktet $x = a$)

Integrasjon

• $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1$ (Potensregelen for integrasjon)
• $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$ (Analysens fundamentalteorem)
• $\int u \cdot v' \, dx = uv - \int u' \cdot v \, dx$ (Delvis integrasjon)
• $\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$ (Substitusjon, $u = g(x)$)
• $\int \ln x \, dx = x\ln x - x + C$ (Integral av ln x)

Økonomiske anvendelser

• $\pi(x) = R(x) - C(x) = p(x) \cdot x - C(x)$ (Profittfunksjonen)
• $\pi'(x) = 0 \Leftrightarrow MR(x) = MC(x)$ (Profittmaksimering: marginalinntekt = grensekostnad)
• $AC(x) = \frac{C(x)}{x}$ (Gjennomsnittskostnad)
• $AC_{\min} \text{ når } MC(x) = AC(x)$ (Gjennomsnittskostnad minimeres der MC = AC)
• $AC - B^2 > 0, \; A < 0 \Rightarrow \text{lokalt maksimum}$ (Klassifisering for to variable)

Elastisitet

• $El_p x(p) = \frac{x'(p) \cdot p}{x(p)}$ (Priselastisitet til ettersporselen)
• $El_x f(x) = \frac{f'(x) \cdot x}{f(x)}$ (Generell elastisitetsformel)
• $R_{\max} \text{ når } El_p x(p) = -1$ (Inntektsmaksimering ved enhetselastisitet)
• $|El| > 1 \Rightarrow \text{elastisk}, \quad |El| < 1 \Rightarrow \text{uelastisk}$ (Klassifisering)

Finansmatematikk

• $K_n = K_0(1+r)^n$ (Rentes rente, arlig kompoundering)
• $A_n = K \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}$ (Sluttverdi av annuitet, rett etter siste betaling)
• $K_0 = K \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{(1+r)^n \cdot r}$ (Noverdi av annuitet)
• $K = K_0 \cdot \frac{(1+r)^n \cdot r}{(1+r)^n - 1}$ (Fast terminbelop for annuitetslan)
• $t = \frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$ (Doblingstid)

Lagrange

• $L(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda(g(x,y) - c)$ (Lagrange-funksjonen)
• $L'_x = 0, \quad L'_y = 0, \quad L'_\lambda = 0$ (Forstordensbetingelsene)
• $\lambda \approx \frac{\Delta f^*}{\Delta c}$ (Tolkning: skyggeprisen på bibetingelsen)

Matriser

• $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$ (2x2 determinant)
• $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ (Invers av 2x2 matrise)
• $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$ (Cramers regel)
• $\mathbf{x} = (I - A)^{-1} \cdot \mathbf{d}$ (Leontief input-output-modell)

Vanlige feil å unngå

Algebra

•Glemme a snu ulikhetstegnet når du multipliserer eller dividerer med et negativt tall.
•Blande logaritmeregler: ln(a + b) er IKKE lik ln(a) + ln(b). Regelen gjelder for multiplikasjon, ikke addisjon.
•Glemme a sjekke for ugyldige losninger i likninger med brokuttrykk eller rottegn -- sett losningen tilbake i den opprinnelige likningen.
•Hoppe over mellomregning i abc-formelen -- dette gir trekk på eksamen. Vis alltid beregning av diskriminanten separat.

Funksjonsanalyse

•Glemme begrensninger i definisjonsmengden -- særlig for ln-funksjoner der argumentet må være strengt positivt (ikke bare >= 0).
•Forveksle nullpunkter (f(x) = 0) med udefinerte punkter (nevner = 0). Et nullpunkt er på grafen, en asymptote er det ikke.
•Konkludere med 'ingen losning' når diskriminanten er negativ -- dette betyr ingen REELLE nullpunkter, men funksjonen eksisterer fortsatt.
•Glemme a nevne y-skjæringen f(0) og andre viktige punkter når du tegner en skisse.

Derivasjon

•Glemme kjerneregelen: (e^{3x})' er IKKE e^{3x}, men 3e^{3x}. Den indre deriverte må alltid med!
•Blande produktregel og kjerneregel. Produktregelen brukes når to funksjoner ganges (f.eks. x^2 * e^x), kjerneregelen når en funksjon er inni en annen (f.eks. e^{x^2}).
•Stoppe for tidlig i forenkling etter kvotientregelen. Trekk sammen og faktoriser telleren -- dette forenkler ofte uttrykket dramatisk.
•Glemme a sjekke andrederiverttesten når f''(a) = 0. Da må du bruke fortegnsskjema for f'(x) i stedet.

Integrasjon

•Glemme +C i ubestemte integraler. På eksamen gir dette trekk!
•Feil fortegn i potensregelen: integralet av x^{-2} er -x^{-1} + C = -1/x + C, IKKE 1/x + C.
•Glemme a bytte integrasjonsgrensene ved substitusjon i bestemte integraler. Når u = g(x), må grensene også uttrykkes i u.
•Velge feil u og v' i delvis integrasjon. Hvis valget forer til et vanskeligere integral, prov a bytte.

Økonomiske anvendelser

•Glemme a sette opp inntektsfunksjonen R(x) = p(x) * x for du finner profittfunksjonen. Mange hopper direkte til pi(x) = p(x) - C(x), som er feil.
•Forveksle MC (grensekostnad = C'(x)) med AC (gjennomsnittskostnad = C(x)/x). Profittmaksimering bruker MC, ikke AC.
•Ved to-vare-problemer: Glemme a sjekke AC - B^2-testen etter a ha funnet det stasjonære punktet. Du MA vise at det faktisk er et maksimum.
•Glemme a besvare 'hva er prisen?' og 'hva er profitten?' etter a ha funnet optimal mengde. Eksamen ber nesten alltid om begge deler.

Elastisitet

•Forveksle x(p) (mengde som funksjon av pris) med p(x) (pris som funksjon av mengde). Elastisitetsformelen krever x(p)-formen.
•Glemme den okonomiske tolkningen. Eksamen gir alltid poeng for tolkning: 'Dersom prisen øker med 1%, synker mengden med ca. El%.'
•Tro at elastisiteten er konstant langs en lineær ettersporselsurve. Den varierer -- den er kun konstant for potensettersporsler x = Ap^b.
•Blande fortegn: Elastisiteten er vanligvis negativ. |El| > 1 betyr elastisk, selv om El = -2.

Finansmatematikk

•Forveksle sluttverdiformelen (rett etter siste betaling) med den som gir verdi ett ar ETTER siste betaling. Forskjellen er faktoren (1+r).
•Bruke feil rente når betalingene er manedlige men renta er arlig. Manedlig rente = arlig rente / 12, og n = antall maneder.
•Glemme a skille mellom renter og avdrag i forste terminbelop. Renter = gjeld * r, avdrag = terminbelop - renter.
•Sette inn nominell rente direkte når det spors om effektiv rente. Effektiv rente = (1 + r/m)^m - 1.

Lagrange

•Sette opp Lagrange-funksjonen med feil fortegn: L = f + lambda*(g-c) i stedet for L = f - lambda*(g-c). Begge er gyldige, men vær konsekvent og folg formelarket.
•Glemme a los for lambda. Eksamen spor nesten alltid om tolkningen av lambda!
•Ved bruk av (I)/(II)-trikset: Glemme at du deler likninger og at du må kansellere lambda korrekt.
•Glemme a sette losningen tilbake i bibetingelsen for å verifisere at x + y faktisk er lik kravet.

Matriser

•Radoperasjoner med regnefeil. Dobbeltsjekk ALLTID hver operasjon -- en feil i forste rad forplanter seg gjennom hele losningen.
•Glemme a sjekke losningen med prove (sette verdiene tilbake i originalsystemet). Eksamen ber ofte eksplisitt om dette.
•Forveksle rad og kolonne ved matrisemultiplikasjon. Husk: rad i A ganger kolonne i B.
•Bruke Cramers regel når det(A) = 0. Da har systemet enten ingen losning eller uendelig mange -- Cramers regel fungerer ikke.
•Glemme parameteroppgaver: Når oppgaven sporr om 'for hvilke verdier av a har systemet ingen entydig losning', loser du $\det(A) = 0$ for a -- ikke selve systemet.

Eksamenstips

Algebra

•Oppgave 1 på eksamen inneholder nesten alltid 2-4 deloppgaver med ren algebra (likninger, ulikheter). Disse er 'gratispoeng' hvis du behersker teknikkene.
•Ved brokulikheter: ALDRI multipliser med et uttrykk som inneholder x uten a vite fortegnet. Flytt heller alt til en side og bruk fortegnsskjema.
•Andregradslikninger kan ofte faktoriseres direkte når koeffisientene er heltall -- dette er raskere enn abc-formelen.
•Logaritmelikninger: Bruk reglene til a samle alle ln-ledd på en side og alle tall på den andre. Ta så e opphoid i begge sider.

Funksjonsanalyse

•Oppgave 2 på eksamen er nesten alltid en funksjonsanalyse der du skal finne nullpunkter, ekstremalverdier, vendepunkter og tegne en skisse.
•Når du far en graf og skal avgjøre fortegnet til f'(x) og f''(x): husk at f'(x) = 0 ved topper og bunner, og f''(x) = 0 ved vendepunkter.
•For funksjoner med to variabler (Oppgave 5/6) må du også finne definisjonsmengde og eventuelle begrensninger.
•Skissering er en hyppig oppgave -- tegn alltid aksene, merk viktige punkter og vis den riktige formen på kurven.

Derivasjon

•Oppgave 1a på eksamen: 'Deriver folgende funksjoner' -- dette er ren teknikk. Ov på a derivere broksuttrykk, sammensatte funksjoner og produkter raskt og feilfritt.
•Når du far f(x) = x * ln(x) - ln(x), bruk produktregelen på det forste leddet: (x*ln(x))' = 1*ln(x) + x*(1/x) = ln(x) + 1.
•Forenkle for du deriverer! Uttrykk som (x^2-1)/(x+1) kan forenkles til (x-1) for x != -1. Mye enklere a derivere.
•Tangentlinjeoppgaver: Beregn ALLTID f(a) og f'(a) separat for du setter inn i tangentformelen.

Integrasjon

•Oppgave 1d på eksamen: 'Beregn integralene' -- typisk ett ubestemt og ett bestemt integral. Vis alle mellomregninger!
•Substitusjon: Se etter om den deriverte av den 'indre funksjonen' opptrer som faktor. For eksempel i 2x*e^{x^2}: u = x^2 gir du = 2x dx.
•Delvis integrasjon: Typiske integraler er x*e^x, x*ln(x) og x^2*e^x. Velg u = polynomleddet og v' = e^x.
•For potenser med negative eksponenter: skriv om for du integrerer. F.eks. 5x^3/x^2 = 5x kan integreres direkte.

Økonomiske anvendelser

•To-vare-profittmaksimering (med prisformer p = a - bx - cy og kostnadsfunksjon C(x,y)) kommer på NESTEN HVER eksamen. Ov denne oppgavetypen til du kan den i sovne.
•Les oppgaven noya: Noen ganger er profittfunksjonen allerede gitt, andre ganger må du utlede den fra prisformer og kostnad. Vis alltid utledningen.
•Når oppgaven sier 'vis at profittfunksjonen kan skrives som...', sett opp R(x,y) = p*x + q*y og trekk fra C(x,y). Sjekk at du far det oppgitte uttrykket.
•Ved kapasitetsbegrensning (x + y = K) bytter oppgaven til Lagrange-optimering -- se Lagrange-seksjonen.

Elastisitet

•Elastisitetsoppgaven har typisk 3-4 deler: (a) finn uttrykk for El, (b) beregn og tolk ved en gitt pris, (c) bør bedriften øke/senke prisen?, (d) finn p der El = -1.
•Husk koblingen: El = -1 gir maks inntekt. Vis dette eksplisitt på eksamen -- det gir ekstrapoeng.
•Når du far x(p) = a - bp, er x'(p) = -b. Elastisiteten blir El = -bp/(a-bp). Bruk dette direkte.
•Eksamen H2023 Oppgave 4 er et perfekt ovelsessett -- los denne oppgaven grundig.

Finansmatematikk

•Oppgave 3 på eksamen er ALLTID finansmatematikk. Typisk 2-3 deloppgaver: annuitetslan, sparing og doblingstid/effektiv rente.
•Vis formelen du bruker FORST, så innsettingen. Eksamen gir poeng for korrekt formelvalg selv om tallsvaret blir feil.
•Ved manedlige betalinger: omregn arlig rente til manedlig (del på 12) og bruk antall maneder som n.
•Doblingstid-oppgaver: Vis utledningen fra K_0(1+r)^t = 2K_0 via logaritmer. Ikke bare skriv formelen.

Lagrange

•Lagrange-oppgaven er nesten alltid den SISTE deloppgaven i en profittmaksimeringsoppgave (Oppgave 5f eller 6f). Den bygger på de foregående delene.
•Trikset for å lose systemet: Trekk likning (II) fra (I) for å eliminere lambda, og bruk bibetingelsen som den tredje likningen.
•Tolkning av lambda: 'Dersom kapasitetsgrensen øker med 1 enhet, endres optimal profitt med ca. lambda kr.' Denne setningen gir alltid poeng.
•Eksamen sier noen ganger 'du trenger ikke begrunge at det er et maksimum'. Da slipper du AC-B^2-testen for Lagrange.

Matriser

•Oppgave 6 tester typisk: (a) Los et 3x3-system med Gauss-eliminasjon, (b) avgjør om et modifisert system er lineært/har losning.
•Skriv ALLTID ut radoperasjonene du utforer: R2 <- R2 - 2*R1. Dette gir delpoeng selv om svaret blir feil.
•Sett prove på svaret! Det tar 30 sekunder og bekrefter at du har riktig svar. Eksamen H2025 ba eksplisitt om det.
•For 2x2-systemer: Cramers regel er raskere. For 3x3-systemer: Gauss-eliminasjon er sikrere.
•For 3x3-determinanter: Skriv ut hele Sarrus-skjemaet med de to ekstra kolonnene synlig, så du ikke glemmer noen diagonaler. Reduserer regnefeil betydelig.

MET 2910

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Matematikk for økonomer

eksamenssett.no

Nøkkelformler per tema

Algebra

• $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ (Abc-formelen for andregradslikninger)
• $\ln(a \cdot b) = \ln a + \ln b, \quad \ln(a/b) = \ln a - \ln b, \quad \ln(a^x) = x\ln a$ (Logaritmeregler)
• $a^n \cdot a^m = a^{n+m}, \quad (a^n)^m = a^{nm}, \quad a^{-n} = 1/a^n$ (Potensregler)
• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \quad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ (Kvadratsetningene)

Funksjonsanalyse

• $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (Stigningstall mellom to punkter)
• $y - y_1 = a(x - x_1)$ (Ettpunktsformelen for lineær funksjon)
• $x_{\text{topp}} = -\frac{b}{2a}$ (Toppunkt/bunnpunkt for andregradsfunksjon $ax^2+bx+c$)
• $\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + \ldots}{b_m x^m + \ldots} = \frac{a_n}{b_m}$ når $n = m$ (Horisontal asymptote)

Derivasjon

• $f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = nx^{n-1}$ (Potensregelen)
• $(g \cdot h)' = g'h + gh'$ (Produktregelen)
• $\left(\frac{g}{h}\right)' = \frac{g'h - gh'}{h^2}$ (Kvotientregelen)
• $f(g(x))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ (Kjerneregelen)
• $y = f(a) + f'(a)(x-a)$ (Tangentlinjen i punktet $x = a$)

Integrasjon

• $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1$ (Potensregelen for integrasjon)
• $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$ (Analysens fundamentalteorem)
• $\int u \cdot v' \, dx = uv - \int u' \cdot v \, dx$ (Delvis integrasjon)
• $\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$ (Substitusjon, $u = g(x)$)
• $\int \ln x \, dx = x\ln x - x + C$ (Integral av ln x)

Økonomiske anvendelser

• $\pi(x) = R(x) - C(x) = p(x) \cdot x - C(x)$ (Profittfunksjonen)
• $\pi'(x) = 0 \Leftrightarrow MR(x) = MC(x)$ (Profittmaksimering: marginalinntekt = grensekostnad)
• $AC(x) = \frac{C(x)}{x}$ (Gjennomsnittskostnad)
• $AC_{\min} \text{ når } MC(x) = AC(x)$ (Gjennomsnittskostnad minimeres der MC = AC)
• $AC - B^2 > 0, \; A < 0 \Rightarrow \text{lokalt maksimum}$ (Klassifisering for to variable)

Elastisitet

• $El_p x(p) = \frac{x'(p) \cdot p}{x(p)}$ (Priselastisitet til ettersporselen)
• $El_x f(x) = \frac{f'(x) \cdot x}{f(x)}$ (Generell elastisitetsformel)
• $R_{\max} \text{ når } El_p x(p) = -1$ (Inntektsmaksimering ved enhetselastisitet)
• $|El| > 1 \Rightarrow \text{elastisk}, \quad |El| < 1 \Rightarrow \text{uelastisk}$ (Klassifisering)

Finansmatematikk

• $K_n = K_0(1+r)^n$ (Rentes rente, arlig kompoundering)
• $A_n = K \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}$ (Sluttverdi av annuitet, rett etter siste betaling)
• $K_0 = K \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{(1+r)^n \cdot r}$ (Noverdi av annuitet)
• $K = K_0 \cdot \frac{(1+r)^n \cdot r}{(1+r)^n - 1}$ (Fast terminbelop for annuitetslan)
• $t = \frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$ (Doblingstid)

Lagrange

• $L(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda(g(x,y) - c)$ (Lagrange-funksjonen)
• $L'_x = 0, \quad L'_y = 0, \quad L'_\lambda = 0$ (Forstordensbetingelsene)
• $\lambda \approx \frac{\Delta f^*}{\Delta c}$ (Tolkning: skyggeprisen på bibetingelsen)

Matriser

• $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$ (2x2 determinant)
• $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ (Invers av 2x2 matrise)
• $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$ (Cramers regel)
• $\mathbf{x} = (I - A)^{-1} \cdot \mathbf{d}$ (Leontief input-output-modell)

Vanlige feil å unngå

Algebra

•Glemme a snu ulikhetstegnet når du multipliserer eller dividerer med et negativt tall.
•Blande logaritmeregler: ln(a + b) er IKKE lik ln(a) + ln(b). Regelen gjelder for multiplikasjon, ikke addisjon.
•Glemme a sjekke for ugyldige losninger i likninger med brokuttrykk eller rottegn -- sett losningen tilbake i den opprinnelige likningen.
•Hoppe over mellomregning i abc-formelen -- dette gir trekk på eksamen. Vis alltid beregning av diskriminanten separat.

Funksjonsanalyse

•Glemme begrensninger i definisjonsmengden -- særlig for ln-funksjoner der argumentet må være strengt positivt (ikke bare >= 0).
•Forveksle nullpunkter (f(x) = 0) med udefinerte punkter (nevner = 0). Et nullpunkt er på grafen, en asymptote er det ikke.
•Konkludere med 'ingen losning' når diskriminanten er negativ -- dette betyr ingen REELLE nullpunkter, men funksjonen eksisterer fortsatt.
•Glemme a nevne y-skjæringen f(0) og andre viktige punkter når du tegner en skisse.

Derivasjon

•Glemme kjerneregelen: (e^{3x})' er IKKE e^{3x}, men 3e^{3x}. Den indre deriverte må alltid med!
•Blande produktregel og kjerneregel. Produktregelen brukes når to funksjoner ganges (f.eks. x^2 * e^x), kjerneregelen når en funksjon er inni en annen (f.eks. e^{x^2}).
•Stoppe for tidlig i forenkling etter kvotientregelen. Trekk sammen og faktoriser telleren -- dette forenkler ofte uttrykket dramatisk.
•Glemme a sjekke andrederiverttesten når f''(a) = 0. Da må du bruke fortegnsskjema for f'(x) i stedet.

Integrasjon

•Glemme +C i ubestemte integraler. På eksamen gir dette trekk!
•Feil fortegn i potensregelen: integralet av x^{-2} er -x^{-1} + C = -1/x + C, IKKE 1/x + C.
•Glemme a bytte integrasjonsgrensene ved substitusjon i bestemte integraler. Når u = g(x), må grensene også uttrykkes i u.
•Velge feil u og v' i delvis integrasjon. Hvis valget forer til et vanskeligere integral, prov a bytte.

Økonomiske anvendelser

•Glemme a sette opp inntektsfunksjonen R(x) = p(x) * x for du finner profittfunksjonen. Mange hopper direkte til pi(x) = p(x) - C(x), som er feil.
•Forveksle MC (grensekostnad = C'(x)) med AC (gjennomsnittskostnad = C(x)/x). Profittmaksimering bruker MC, ikke AC.
•Ved to-vare-problemer: Glemme a sjekke AC - B^2-testen etter a ha funnet det stasjonære punktet. Du MA vise at det faktisk er et maksimum.
•Glemme a besvare 'hva er prisen?' og 'hva er profitten?' etter a ha funnet optimal mengde. Eksamen ber nesten alltid om begge deler.

Elastisitet

•Forveksle x(p) (mengde som funksjon av pris) med p(x) (pris som funksjon av mengde). Elastisitetsformelen krever x(p)-formen.
•Glemme den okonomiske tolkningen. Eksamen gir alltid poeng for tolkning: 'Dersom prisen øker med 1%, synker mengden med ca. El%.'
•Tro at elastisiteten er konstant langs en lineær ettersporselsurve. Den varierer -- den er kun konstant for potensettersporsler x = Ap^b.
•Blande fortegn: Elastisiteten er vanligvis negativ. |El| > 1 betyr elastisk, selv om El = -2.

Finansmatematikk

•Forveksle sluttverdiformelen (rett etter siste betaling) med den som gir verdi ett ar ETTER siste betaling. Forskjellen er faktoren (1+r).
•Bruke feil rente når betalingene er manedlige men renta er arlig. Manedlig rente = arlig rente / 12, og n = antall maneder.
•Glemme a skille mellom renter og avdrag i forste terminbelop. Renter = gjeld * r, avdrag = terminbelop - renter.
•Sette inn nominell rente direkte når det spors om effektiv rente. Effektiv rente = (1 + r/m)^m - 1.

Lagrange

•Sette opp Lagrange-funksjonen med feil fortegn: L = f + lambda*(g-c) i stedet for L = f - lambda*(g-c). Begge er gyldige, men vær konsekvent og folg formelarket.
•Glemme a los for lambda. Eksamen spor nesten alltid om tolkningen av lambda!
•Ved bruk av (I)/(II)-trikset: Glemme at du deler likninger og at du må kansellere lambda korrekt.
•Glemme a sette losningen tilbake i bibetingelsen for å verifisere at x + y faktisk er lik kravet.

Matriser

•Radoperasjoner med regnefeil. Dobbeltsjekk ALLTID hver operasjon -- en feil i forste rad forplanter seg gjennom hele losningen.
•Glemme a sjekke losningen med prove (sette verdiene tilbake i originalsystemet). Eksamen ber ofte eksplisitt om dette.
•Forveksle rad og kolonne ved matrisemultiplikasjon. Husk: rad i A ganger kolonne i B.
•Bruke Cramers regel når det(A) = 0. Da har systemet enten ingen losning eller uendelig mange -- Cramers regel fungerer ikke.
•Glemme parameteroppgaver: Når oppgaven sporr om 'for hvilke verdier av a har systemet ingen entydig losning', loser du $\det(A) = 0$ for a -- ikke selve systemet.

Eksamenstips

Algebra

•Oppgave 1 på eksamen inneholder nesten alltid 2-4 deloppgaver med ren algebra (likninger, ulikheter). Disse er 'gratispoeng' hvis du behersker teknikkene.
•Ved brokulikheter: ALDRI multipliser med et uttrykk som inneholder x uten a vite fortegnet. Flytt heller alt til en side og bruk fortegnsskjema.
•Andregradslikninger kan ofte faktoriseres direkte når koeffisientene er heltall -- dette er raskere enn abc-formelen.
•Logaritmelikninger: Bruk reglene til a samle alle ln-ledd på en side og alle tall på den andre. Ta så e opphoid i begge sider.

Funksjonsanalyse

•Oppgave 2 på eksamen er nesten alltid en funksjonsanalyse der du skal finne nullpunkter, ekstremalverdier, vendepunkter og tegne en skisse.
•Når du far en graf og skal avgjøre fortegnet til f'(x) og f''(x): husk at f'(x) = 0 ved topper og bunner, og f''(x) = 0 ved vendepunkter.
•For funksjoner med to variabler (Oppgave 5/6) må du også finne definisjonsmengde og eventuelle begrensninger.
•Skissering er en hyppig oppgave -- tegn alltid aksene, merk viktige punkter og vis den riktige formen på kurven.

Derivasjon

•Oppgave 1a på eksamen: 'Deriver folgende funksjoner' -- dette er ren teknikk. Ov på a derivere broksuttrykk, sammensatte funksjoner og produkter raskt og feilfritt.
•Når du far f(x) = x * ln(x) - ln(x), bruk produktregelen på det forste leddet: (x*ln(x))' = 1*ln(x) + x*(1/x) = ln(x) + 1.
•Forenkle for du deriverer! Uttrykk som (x^2-1)/(x+1) kan forenkles til (x-1) for x != -1. Mye enklere a derivere.
•Tangentlinjeoppgaver: Beregn ALLTID f(a) og f'(a) separat for du setter inn i tangentformelen.

Integrasjon

•Oppgave 1d på eksamen: 'Beregn integralene' -- typisk ett ubestemt og ett bestemt integral. Vis alle mellomregninger!
•Substitusjon: Se etter om den deriverte av den 'indre funksjonen' opptrer som faktor. For eksempel i 2x*e^{x^2}: u = x^2 gir du = 2x dx.
•Delvis integrasjon: Typiske integraler er x*e^x, x*ln(x) og x^2*e^x. Velg u = polynomleddet og v' = e^x.
•For potenser med negative eksponenter: skriv om for du integrerer. F.eks. 5x^3/x^2 = 5x kan integreres direkte.

Økonomiske anvendelser

•To-vare-profittmaksimering (med prisformer p = a - bx - cy og kostnadsfunksjon C(x,y)) kommer på NESTEN HVER eksamen. Ov denne oppgavetypen til du kan den i sovne.
•Les oppgaven noya: Noen ganger er profittfunksjonen allerede gitt, andre ganger må du utlede den fra prisformer og kostnad. Vis alltid utledningen.
•Når oppgaven sier 'vis at profittfunksjonen kan skrives som...', sett opp R(x,y) = p*x + q*y og trekk fra C(x,y). Sjekk at du far det oppgitte uttrykket.
•Ved kapasitetsbegrensning (x + y = K) bytter oppgaven til Lagrange-optimering -- se Lagrange-seksjonen.

Elastisitet

•Elastisitetsoppgaven har typisk 3-4 deler: (a) finn uttrykk for El, (b) beregn og tolk ved en gitt pris, (c) bør bedriften øke/senke prisen?, (d) finn p der El = -1.
•Husk koblingen: El = -1 gir maks inntekt. Vis dette eksplisitt på eksamen -- det gir ekstrapoeng.
•Når du far x(p) = a - bp, er x'(p) = -b. Elastisiteten blir El = -bp/(a-bp). Bruk dette direkte.
•Eksamen H2023 Oppgave 4 er et perfekt ovelsessett -- los denne oppgaven grundig.

Finansmatematikk

•Oppgave 3 på eksamen er ALLTID finansmatematikk. Typisk 2-3 deloppgaver: annuitetslan, sparing og doblingstid/effektiv rente.
•Vis formelen du bruker FORST, så innsettingen. Eksamen gir poeng for korrekt formelvalg selv om tallsvaret blir feil.
•Ved manedlige betalinger: omregn arlig rente til manedlig (del på 12) og bruk antall maneder som n.
•Doblingstid-oppgaver: Vis utledningen fra K_0(1+r)^t = 2K_0 via logaritmer. Ikke bare skriv formelen.

Lagrange

•Lagrange-oppgaven er nesten alltid den SISTE deloppgaven i en profittmaksimeringsoppgave (Oppgave 5f eller 6f). Den bygger på de foregående delene.
•Trikset for å lose systemet: Trekk likning (II) fra (I) for å eliminere lambda, og bruk bibetingelsen som den tredje likningen.
•Tolkning av lambda: 'Dersom kapasitetsgrensen øker med 1 enhet, endres optimal profitt med ca. lambda kr.' Denne setningen gir alltid poeng.
•Eksamen sier noen ganger 'du trenger ikke begrunge at det er et maksimum'. Da slipper du AC-B^2-testen for Lagrange.

Matriser

•Oppgave 6 tester typisk: (a) Los et 3x3-system med Gauss-eliminasjon, (b) avgjør om et modifisert system er lineært/har losning.
•Skriv ALLTID ut radoperasjonene du utforer: R2 <- R2 - 2*R1. Dette gir delpoeng selv om svaret blir feil.
•Sett prove på svaret! Det tar 30 sekunder og bekrefter at du har riktig svar. Eksamen H2025 ba eksplisitt om det.
•For 2x2-systemer: Cramers regel er raskere. For 3x3-systemer: Gauss-eliminasjon er sikrere.
•For 3x3-determinanter: Skriv ut hele Sarrus-skjemaet med de to ekstra kolonnene synlig, så du ikke glemmer noen diagonaler. Reduserer regnefeil betydelig.