Oversikt

Finansmatematikk utgjor typisk en hel oppgave pa eksamen (Oppgave 3). Formlene star pa formelarket, sa du trenger ikke pugge dem -- men du ma vite nar du bruker hvilken formel og sette inn riktig. De vanligste oppgavetypene er annuitetslan (fast terminbelop), sparing (sluttverdi av innbetalinger) og doblingstid.

Rentes rente

Arlig kompoundering:

$$K_n = K_0 \cdot (1 + r)^n$$

der $K_0$ er startkapitalen, $r$ er arlig rente og $n$ er antall ar.

Kompoundering m ganger per ar:

$$K_n = K_0 \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m \cdot n}$$

Kontinuerlig kompoundering:

$$K_n = K_0 \cdot e^{r \cdot n}$$

Forskjellen: Ved 8% rente over 5 ar pa 10 000 kr: arlig gir 14 693 kr, kvartalsvis gir 14 859 kr, kontinuerlig gir 14 918 kr. Hyppigere kompoundering gir hoyere sluttverdi fordi renter begynner a forrente seg raskere.

Annuiteter

En annuitet er en rekke like store betalinger med jevne mellomrom.

Sluttverdi rett etter siste innbetaling:

$$A_n = K \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}$$

Sluttverdi ett ar etter siste innbetaling:

$$A_n = K(1+r) \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}$$

Noverdi nar forste tilbakebetaling skjer om ett ar:

$$K_0 = K \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{(1+r)^n \cdot r}$$

Fast arlig tilbakebetaling (annuitetslan):

$$K = K_0 \cdot \frac{(1+r)^n \cdot r}{(1+r)^n - 1}$$

Effektiv rente

Nar renten kompounderes $m$ ganger per ar med nominell rente $r$:

$$r_{\text{eff}} = \left(1 + \frac{r}{m}\right)^m - 1$$

Doblingstid

Tiden det tar for kapitalen a dobles:

$$K_0(1+r)^t = 2K_0 \Rightarrow (1+r)^t = 2 \Rightarrow t = \frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$$

Eksempel: Annuitetslan

Oppgave: Du tar opp et lan pa 2 000 000 kr. Lanet er et annuitetslan pa 15 ar med faste arlige tilbakebetalinger. Forste tilbakebetaling skjer ett ar etter laneopptak. Renta er 6% per ar. Hva er det arlige terminbelopet?

Losning:

Gitt: $K_0 = 2\,000\,000$, $r = 0.06$, $n = 15$

Bruk formelen for fast arlig tilbakebetaling:

$$K = K_0 \cdot \frac{(1+r)^n \cdot r}{(1+r)^n - 1}$$

Beregn $(1.06)^{15} = 2.39656$

$$K = 2\,000\,000 \cdot \frac{2.39656 \cdot 0.06}{2.39656 - 1} = 2\,000\,000 \cdot \frac{0.143794}{1.39656}$$

$$K = 2\,000\,000 \cdot 0.10296 = 205\,930 \text{ kr}$$

Det arlige terminbelopet er cirka 205 930 kr. Av dette er forste ars rente $2\,000\,000 \cdot 0.06 = 120\,000$ kr, og avdraget er $205\,930 - 120\,000 = 85\,930$ kr.

Kilde: Eksamen H2025, Oppgave 3a

Eksempel: Sparing og doblingstid

Oppgave: (a) En person sparer 12 000 kr i aret i 20 ar med 4% arlig rente. Hva er belopet rett etter siste innskudd? (b) Du har et forbrukslan pa 50 000 kr til 20% arlig rente. Du betaler ingenting. Hvor lang tid tar det for lanet dobles?

Losning:

(a) Sluttverdi av sparing:

$K = 12\,000$, $r = 0.04$, $n = 20$

$$A_{20} = 12\,000 \cdot \frac{(1.04)^{20} - 1}{0.04}$$

$(1.04)^{20} = 2.19112$

$$A_{20} = 12\,000 \cdot \frac{2.19112 - 1}{0.04} = 12\,000 \cdot \frac{1.19112}{0.04} = 12\,000 \cdot 29.778 = 357\,336 \text{ kr}$$

(b) Doblingstid:

$$t = \frac{\ln 2}{\ln(1.20)} = \frac{0.6931}{0.1823} = 3.80 \text{ ar}$$

Sparebelopet etter 20 ar er 357 336 kr (totale innbetalinger er $12\,000 \cdot 20 = 240\,000$ kr -- resten er opptjent rente). Lanet dobles etter 3.8 ar -- dette viser hvor farlig hoy rente er pa forbrukslan!

Kilde: Eksamen H2025, Oppgave 3b-c

Studieguide: Finansmatematikk

Studieguide: Finansmatematikk