Oversikt

Hypotesetesting er den mest sentrale ferdigheten pa MET 2920-eksamen. Typisk 40-50% av eksamen handler om hypotesetester. Fremgangsmaten er alltid den samme:

Sett opp hypotesene: $H_0$ (nullhypotesen) og $H_A$ (alternativhypotesen)
Velg signifikansniva $\alpha$ (oppgitt i oppgaveteksten)
Beregn testobservator
Finn P-verdien
Konkluder: Forkast $H_0$ hvis P-verdi $< \alpha$
Gi praktisk tolkning i kontekst

Test for ett gjennomsnitt

$$H_0: \mu = \mu_0 \quad \text{vs.} \quad H_A: \mu \neq \mu_0 \ (\text{eller } > \text{ eller } <)$$

Testobservator (t-test):

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}, \quad df = n-1$$

Test for to gjennomsnitt (uavhengige utvalg)

$$H_0: \mu_1 = \mu_2 \quad \text{vs.} \quad H_A: \mu_1 \neq \mu_2$$

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}, \quad df = \min(n_1-1, n_2-1)$$

Test for en andel

$$H_0: p = p_0 \quad \text{vs.} \quad H_A: p \neq p_0$$

$$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$

Viktig: I nevneren bruker vi $p_0$ (fra nullhypotesen), IKKE $\hat{p}$. Dette skiller seg fra konfidensintervallet der vi bruker $\hat{p}$.

Test for to andeler

$$H_0: p_1 = p_2 \quad \text{vs.} \quad H_A: p_1 \neq p_2$$

$$z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}}$$

der $\hat{p} = \frac{X_1 + X_2}{n_1 + n_2}$ er den sammenslaatte andelen.

Ensidig vs. tosidig test

Type	$H_A$	P-verdi
Tosidig	$\neq$	$2 \cdot P(Z \le -\|z\|)$
Ensidig ovre	$>$	$P(Z \ge z)$ eller $P(T \ge t)$
Ensidig nedre	$<$	$P(Z \le z)$ eller $P(T \le t)$

Type I og Type II feil

Type I feil: Forkaste $H_0$ nar den er sann ("falsk alarm"). Sannsynligheten er $\alpha$.

Type II feil: Beholde $H_0$ nar den er gal ("bomme pa det ekte"). Sannsynligheten er $\beta$.

Viktig: Du kan IKKE gjore bade type I og type II feil samtidig (C er korrekt svar pa H2025).

Eksempel 1: Hypotesetest for en andel (H2025)

Oppgave: Konrad Rev hevder at mindre enn 65% av de ansatte deltok pa opplaeringsprogrammet. Av $n = 1000$ hadde 608 deltatt. Test pa 5% signifikansniva.

$H_0: p = 0.65$ (andelen er 65%)

$H_A: p < 0.65$ (andelen er mindre enn 65%) -- ensidig nedre test

$\hat{p} = 608/1000 = 0.608$

$$z = \frac{0.608 - 0.65}{\sqrt{\frac{0.65 \cdot 0.35}{1000}}} = \frac{-0.042}{\sqrt{0.0002275}} = \frac{-0.042}{0.01508} = -2.784$$

P-verdi: $P(Z \le -2.784) \approx 0.0027$

Siden $0.0027 < 0.05$ forkaster vi $H_0$.

Praktisk tolkning: Vi har statistisk signifikant bevis for at mindre enn 65% av de ansatte i bedriften deltok pa opplaeringsprogrammet.

Kilde: Eksamen H2025, Oppgave 2d-f

Eksempel 2: Hypotesetest for to gjennomsnitt (H2025)

Oppgave: Test om gjennomsnittlig resultat til de som deltok er hoyre enn for de som ikke deltok. $\bar{x}_2 = 70.2$, $s_2 = 10.3$, $n_2 = 608$; $\bar{x}_1 = 64.3$, $s_1 = 9.7$, $n_1 = 392$. $\alpha = 0.01$.

$H_0: \mu_2 = \mu_1$ (ingen forskjell)

$H_A: \mu_2 > \mu_1$ (deltakerne scorer hoyre) -- ensidig ovre test

$$t = \frac{70.2 - 64.3}{\sqrt{\frac{9.7^2}{392} + \frac{10.3^2}{608}}} = \frac{5.9}{0.6438} = 9.164$$

$df = \min(391, 607) = 391$

P-verdi: $P(T \ge 9.164) \approx 0$ (ekstremt liten)

Siden P-verdi $\ll 0.01$ forkaster vi $H_0$.

Praktisk tolkning: Pa 1% signifikansniva har vi sterkt statistisk bevis for at ansatte som deltok pa opplaeringsprogrammet oppnadde et hoyre gjennomsnittlig resultat enn de som ikke deltok.

Kilde: Eksamen H2025, Oppgave 3c-e

Eksempel 3: Hypotesetest for en andel med tolkning (H2024)

Oppgave: Av 191 leiligheter har 116 balkong. Test om et flertall (mer enn 50%) har balkong.

$H_0: p = 0.50$, $H_A: p > 0.50$ (ensidig ovre)

$\hat{p} = 116/191 = 0.6073$

$$z = \frac{0.6073 - 0.50}{\sqrt{\frac{0.50 \cdot 0.50}{191}}} = \frac{0.1073}{0.03616} = 2.967$$

P-verdi: $P(Z \ge 2.967) \approx 0.0015$

Forkaster $H_0$ pa alle vanlige signifikansniva.

Tolkning: Vi har statistisk signifikant bevis for at mer enn halvparten av selveierleilighetene i populasjonen FrognerA har balkong.

Kilde: Eksamen H2024, Oppgave 3d-g

Type	\(H_A\)	P-verdi
Tosidig	\(\neq\)	\(2 \cdot P(Z \le -\|z\|)\)
Ensidig ovre	\(>\)	\(P(Z \ge z)\) eller \(P(T \ge t)\)
Ensidig nedre	\(<\)	\(P(Z \le z)\) eller \(P(T \le t)\)

Studieguide: Hypotesetesting

Studieguide: Hypotesetesting