Oversikt

Et konfidensintervall gir et intervall av plausible verdier for en ukjent populasjonsparameter. Grunnstrukturen er alltid:

$$\text{Estimat} \pm \text{Kritisk verdi} \times \text{Standardfeil}$$

Pa MET 2920-eksamen dukker konfidensintervall opp i nesten alle oppgavesett. Du ma kunne beregne KI for: ett gjennomsnitt, differanse mellom to gjennomsnitt, en andel, og differanse mellom to andeler.

Konfidensintervall for ett gjennomsnitt $\mu$

Nar populasjonsstandardavviket $\sigma$ er ukjent (som det nesten alltid er pa eksamen):

$$\bar{x} \pm t^*_{(1-c)/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$

der $df = n - 1$ frihetsgrader og $t^*$ leses av t-tabellen.

For store utvalg ($n > 30$) er t-fordelingen nesten lik normalfordelingen, og vi kan bruke $z^*$ i stedet.

Konfidensintervall for $\mu_1 - \mu_2$ (to uavhengige utvalg)

$$\bar{x}_1 - \bar{x}_2 \pm t^*_{(1-c)/2} \cdot \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}$$

der $df = \min(n_1 - 1, n_2 - 1)$.

Tolkning: Hvis intervallet ikke inneholder 0, er det signifikant forskjell mellom gruppene.

Konfidensintervall for en andel $p$

$$\hat{p} \pm z^*_{(1-c)/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

der $\hat{p} = X/n$ og vi bruker Z-fordeling (ikke t).

Konfidensintervall for $p_1 - p_2$ (to andeler)

$$\hat{p}_1 - \hat{p}_2 \pm z^*_{(1-c)/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$$

Hva pavirker bredden?

Hoyre konfidensniva gir bredere intervall (mer usikkerhet for a vare sikrere)
Storre utvalgsstorrelse gir smalere intervall (mer data = mer presisjon)
Storre spredning (standardavvik) gir bredere intervall

Praktisk tolkning

Et 95% KI betyr: Vi er 95% sikre pa at den sanne populasjonsparameteren ligger innenfor intervallet. Mer presist: Dersom vi gjentok utvalgsmetoden mange ganger, ville 95% av intervallene inneholde den sanne verdien.

Eksempel 1: KI for ett gjennomsnitt (V2024)

Oppgave: Et utvalg pa $n = 93$ BI-studenter har gjennomsnittlig alkoholforbruk $\bar{x} = 5.4$ enheter/uke med $s = 6.1$. Beregn 95% KI for populasjonsgjennomsnittet $\mu$.

$df = 93 - 1 = 92$. Fra t-tabellen: $t^*_{0.025} \approx 1.986$ (bruk $df = 90$ i tabellen)

Standardfeil: $SE = \frac{6.1}{\sqrt{93}} = \frac{6.1}{9.644} = 0.6325$

$$KI: 5.4 \pm 1.986 \cdot 0.6325 = 5.4 \pm 1.256$$

$$KI: [4.14, \ 6.66]$$

Tolkning: Vi er 95% sikre pa at det sanne gjennomsnittlige alkoholforbruket blant BI-studenter som tar MET2920/MET3431 ligger mellom 4.14 og 6.66 enheter per uke.

Kilde: Eksamen V2024, Oppgave 3a

Eksempel 2: KI for differanse mellom to gjennomsnitt (H2025)

Oppgave: Ansatte som deltok pa opplaeringsprogram (gruppe 2): $\bar{x}_2 = 70.2$, $s_2 = 10.3$, $n_2 = 608$. Ansatte som ikke deltok (gruppe 1): $\bar{x}_1 = 64.3$, $s_1 = 9.7$, $n_1 = 392$. Beregn 95% KI for $\mu_2 - \mu_1$.

Punktestimat: $70.2 - 64.3 = 5.9$

$df = \min(392-1, 608-1) = \min(391, 607) = 391$. $t^*_{0.025} \approx 1.966$

$$SE = \sqrt{\frac{9.7^2}{392} + \frac{10.3^2}{608}} = \sqrt{\frac{94.09}{392} + \frac{106.09}{608}} = \sqrt{0.2400 + 0.1745} = \sqrt{0.4145} = 0.6438$$

$$KI: 5.9 \pm 1.966 \cdot 0.6438 = 5.9 \pm 1.266$$

$$KI: [4.634, \ 7.166]$$

Tolkning: Vi er 95% sikre pa at de som deltok pa opplaeringsprogrammet i gjennomsnitt scorer mellom 4.6 og 7.2 poeng hoyre enn de som ikke deltok. Siden hele intervallet er positivt, er forskjellen statistisk signifikant.

Kilde: Eksamen H2025, Oppgave 3a

Eksempel 3: KI for en andel (H2024, V2024)

Oppgave: Av 191 selveierleiligheter pa Frogner har 116 balkong. Beregn 95% KI for andelen i populasjonen som har balkong.

$$\hat{p} = \frac{116}{191} = 0.6073$$

$z^*_{0.025} = 1.96$

$$SE = \sqrt{\frac{0.6073 \cdot 0.3927}{191}} = \sqrt{\frac{0.2385}{191}} = \sqrt{0.001249} = 0.03534$$

$$KI: 0.6073 \pm 1.96 \cdot 0.03534 = 0.6073 \pm 0.0693$$

$$KI: [0.538, \ 0.677]$$

Tolkning: Vi er 95% sikre pa at mellom 53.8% og 67.7% av selveierleilighetene i populasjonen FrognerA har balkong.

Kilde: Eksamen H2024, Oppgave 3b

Oversikt

Konfidensintervall for ett gjennomsnitt \(\mu\)

Konfidensintervall for \(\mu_1 - \mu_2\) (to uavhengige utvalg)

Konfidensintervall for en andel \(p\)

Konfidensintervall for \(p_1 - p_2\) (to andeler)