Oversikt

Sannsynlighetsregning er grunnlaget for all statistisk inferens. I MET 2920 brukes sannsynlighet bade som selvstendige oppgaver (simultanfordelinger, forventning, varians) og som fundament for konfidensintervall og hypotesetesting.

Grunnleggende regler

For to hendelser $A$ og $B$:

Addisjonsregelen:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Dersom $A$ og $B$ er disjunkte (kan ikke inntreffe samtidig): $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Komplementregelen:

$$P(A^c) = 1 - P(A)$$

Ofte enklere a beregne $P(\text{minst en}) = 1 - P(\text{ingen})$.

Betinget sannsynlighet:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Multiplikasjonsregelen: $P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B)$

Uavhengighet: $A$ og $B$ er uavhengige dersom $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Simultanfordeling for to diskrete variabler

En simultanfordeling angir sannsynligheten for alle kombinasjoner av verdier til to variabler $X$ og $Y$. Fra simultanfordelingen finner vi:

Marginalsannsynligheter ved a summere over den andre variabelen:

$$P(X = x) = \sum_{\text{alle } y} P(X = x, Y = y)$$

Forventning:

$$E(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$$

Varians:

$$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

der $E(X^2) = \sum_i x_i^2 \cdot P(X = x_i)$.

Kovarians:

$$\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X) \cdot E(Y)$$

der $E(XY) = \sum_{i,j} x_i \cdot y_j \cdot P(X = x_i, Y = y_j)$.

Uavhengighetssjekk: $X$ og $Y$ er uavhengige dersom $P(X = x, Y = y) = P(X = x) \cdot P(Y = y)$ for alle kombinasjoner.

Regneregler for forventning og varians

$$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$$

$$\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$$

$$\text{Var}(aX + bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y) + 2ab \cdot \text{Cov}(X,Y)$$

Eksempel 1: Simultanfordeling (H2023)

Oppgave: Gitt simultanfordelingen til $X$ og $Y$:

	Y=0	Y=1
X=0	0.20	0.20
X=1	0.05	0.15
X=2	0.35	0.05

Finn marginalsannsynlighetene, $E(X)$, $E(Y)$, $\text{Cov}(X,Y)$ og $\text{Cor}(X,Y)$.

Losning:

Marginaler for X: $P(X=0) = 0.20 + 0.20 = 0.40$, $P(X=1) = 0.05 + 0.15 = 0.20$, $P(X=2) = 0.35 + 0.05 = 0.40$

Marginaler for Y: $P(Y=0) = 0.20 + 0.05 + 0.35 = 0.60$, $P(Y=1) = 0.20 + 0.15 + 0.05 = 0.40$

$$E(X) = 0 \cdot 0.40 + 1 \cdot 0.20 + 2 \cdot 0.40 = 1.0$$

$$E(Y) = 0 \cdot 0.60 + 1 \cdot 0.40 = 0.40$$

$$E(X^2) = 0^2 \cdot 0.40 + 1^2 \cdot 0.20 + 2^2 \cdot 0.40 = 1.80$$

$$\text{Var}(X) = 1.80 - 1.0^2 = 0.80$$

$$E(XY) = 0 \cdot 0 \cdot 0.20 + 0 \cdot 1 \cdot 0.20 + 1 \cdot 0 \cdot 0.05 + 1 \cdot 1 \cdot 0.15 + 2 \cdot 0 \cdot 0.35 + 2 \cdot 1 \cdot 0.05 = 0.25$$

$$\text{Cov}(X,Y) = 0.25 - 1.0 \cdot 0.40 = -0.15$$

Negativ kovarians betyr at nar $X$ oker, tenderer $Y$ til a synke.

Kilde: Eksamen H2023, Oppgave 1

Eksempel 2: Simultanfordeling med okonomisk kontekst (V2025)

Oppgave: Pris $X$ (100 eller 200 kr) og antall solgte testtimer $Y$ (10 eller 20) har simultanfordeling. Finn $E(X)$, $E(Y)$ og avgjor om $X$ og $Y$ er uavhengige.

X\Y	10	20
100	0.10	0.40
200	0.30	0.20

$P(X=100) = 0.10 + 0.40 = 0.50$, $P(X=200) = 0.30 + 0.20 = 0.50$

$P(Y=10) = 0.10 + 0.30 = 0.40$, $P(Y=20) = 0.40 + 0.20 = 0.60$

Sjekk uavhengighet: $P(X=100) \cdot P(Y=10) = 0.50 \cdot 0.40 = 0.20 \neq 0.10 = P(X=100, Y=10)$

Konklusjon: $X$ og $Y$ er IKKE uavhengige.

Kilde: Eksamen V2025, Oppgave 2

Eksempel 3: Samlet nettogevinst fra to spill (V2024)

Oppgave: Du spiller bade Hyper og Binom en gang. Gitt simultanfordelingen til nettogevinstene $X$ og $Y$, finn $P(X+Y = 0)$ og $E(X+Y)$.

Losning: Summer alle celler i simultanfordelingen der $X + Y = 0$ (f.eks. $X = -500, Y = 500$ eller $X = 500, Y = -500$).

For forventning: $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ -- dette gjelder ALLTID, uavhengig av om X og Y er uavhengige eller ikke.

Kilde: Eksamen V2024, Oppgave 2

Studieguide: Sannsynlighet

Studieguide: Sannsynlighet