Forventet avkastning og risiko

Porteføljeteori (Markowitz, 1952) gir oss verktøyene for å analysere avkastning og risiko for kombinasjoner av aktiva.

Portefølje med to aktiva:

Forventet avkastning: $E[r_p] = w_A E[r_A] + w_B E[r_B]$

Varians: $\sigma_p^2 = w_A^2\sigma_A^2 + w_B^2\sigma_B^2 + 2w_Aw_B\sigma_A\sigma_B\rho_{AB}$

Kovarians: $\text{Cov}(r_A, r_B) = \rho_{AB} \cdot \sigma_A \cdot \sigma_B$

Diversifisering

Nøkkelen til porteføljeteori er at porteføljens risiko ($\sigma_p$) generelt er lavere enn det vektede gjennomsnittet av enkeltaktivaenes risiko, så lenge $\rho < 1$.

Eksempel — Diversifiseringsgevinst:

Aksje A: $E[r_A] = 12\,\%$, $\sigma_A = 25\,\%$. Aksje B: $E[r_B] = 8\,\%$, $\sigma_B = 15\,\%$. $\rho = 0{,}3$. Lik vekt: $w_A = w_B = 0{,}5$.

$E[r_p] = 0{,}5 \cdot 12 + 0{,}5 \cdot 8 = 10\,\%$

$\sigma_p^2 = 0{,}25^2 \cdot 0{,}25^2 + 0{,}25^2 \cdot 0{,}15^2 + 2 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}3$

$= 0{,}25 \cdot 0{,}0625 + 0{,}25 \cdot 0{,}0225 + 2 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}3$

$= 0{,}015625 + 0{,}005625 + 0{,}005625 = 0{,}026875$

$\sigma_p = \sqrt{0{,}026875} = 16{,}4\,\%$

Vektet gjennomsnitt av $\sigma$: $0{,}5 \cdot 25 + 0{,}5 \cdot 15 = 20\,\%$. Diversifiseringsgevinst: $20 - 16{,}4 = 3{,}6$ prosentpoeng.

Minimum-varians-porteføljen (MVP) og den effisiente fronten

MVP er porteføljen med lavest mulig varians. Den effisiente fronten er den øvre delen av minimum-varians-fronten.

MVP for to aktiva:

$$w_A^{MVP} = \frac{\sigma_B^2 - \text{Cov}(r_A,r_B)}{\sigma_A^2 + \sigma_B^2 - 2\text{Cov}(r_A,r_B)}$$

CML og Sharpe-ratio

Med et risikofritt aktiva tilgjengelig kombinerer investorer dette med tangentporteføljen langs kapitalmarkedslinjen (CML).

CML: $E[r_p] = r_f + \frac{E[r_m] - r_f}{\sigma_m} \cdot \sigma_p$

Sharpe-ratio: $S_p = \frac{E[r_p] - r_f}{\sigma_p}$

Studieguide: Porteføljeteori

Studieguide: Porteføljeteori