BED4

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Bedriftsøkonomiske beslutninger

eksamenssett.no

Formler

Lineær programmering

•Standardform: $\max\; c^\top x$ gitt $Ax \le b,\; x \ge 0$
•Skyggepris $=\dfrac{\Delta z^*}{\Delta b_i}$ (innenfor tillatt endring)
•Bindende bibetingelse: slakk $=0$

Heltalls-/binærprogrammering

•Binær: $x_i \in \{0,1\}$
•Fast kostnad: $\text{kost}=f\,y + v\,x,\; x \le M y,\; y\in\{0,1\}$
•Enten-eller: $x_1+x_2 \le 1$

Ikke-lineær / portefølje

•Porteføljevarians $\sigma_p^2 = w^\top \Sigma\, w$
•Min varians gitt avkastning: $\min\; w^\top\Sigma w$ gitt $\displaystyle w^\top\mu = r,\; \sum w_i = 1$
•Konstant elastisitet: påslag $=\dfrac{1}{e-1}$

Transport / nettverk

•Balansert: $\displaystyle \sum \text{tilbud} = \sum \text{etterspørsel}$
•Transport: $\displaystyle \min \sum_{ij} c_{ij}x_{ij}$
•Tilordning: $x_{ij}\in\{0,1\}$ , én per rad/kolonne

Lagerstyring (EOQ)

• $Q^*=\sqrt{\dfrac{2DS}{H}}$
• $TC^*=\sqrt{2DSH}$
•Bestillingspunkt $ROP = d\cdot L + \text{sikkerhetslager}$
•EPQ: $Q^*=\sqrt{\dfrac{2DS}{H(1-d/p)}}$

Prognoser

•Eksponentiell glatting: $F_{t+1}=\alpha Y_t+(1-\alpha)F_t$
•Holt (trend): $L_t=\alpha Y_t+(1-\alpha)(L_{t-1}+T_{t-1})$
• $\displaystyle MAD=\dfrac{\sum|e_t|}{n},\; MAPE=\dfrac{100}{n}\sum\dfrac{|e_t|}{Y_t}$

Beslutningsanalyse

• $\displaystyle EMV=\sum_i p_i \cdot v_i$
•Regret $=\max_j v_j - v_{ij}$
• $EVPI = EV_{\text{perfekt info}} - \max EMV$
•Sikkerhetsekvivalent: $U(CE)=E[U]$

Nøkkelformler per tema

Lineær programmering

• $\max\ z = c_1x_1 + c_2x_2 + \dots + c_nx_n$
• $\text{ressursbruk} \le \text{kapasitet}:\ a_{i1}x_1 + \dots + a_{in}x_n \le b_i$
•Ikke-negativitet: $x_j \ge 0$ for alle $j$
•Standardform (slakk): $a_{i1}x_1 + \dots + a_{in}x_n + s_i = b_i,\ s_i \ge 0$
•Overskudd ( $\ge$ -krav): $\text{LHS} - s_i = b_i,\ s_i \ge 0$
•Andelskrav «minst $p$ av totalen»: $x_k \ge p\,(x_1 + \dots + x_n)$
•Min = $-\max(-z)$

Sensitivitetsanalyse og skyggepriser

•Skyggepris: $y_i = \dfrac{\Delta z^*}{\Delta b_i}$ (innen tillatt RHS-endring)
•Endring i målverdi: $\Delta z^* = y_i \cdot \Delta b_i$
•Komplementær slakkhet: $s_i \cdot y_i = 0$
•Redusert kost (nullvariabel) = nødvendig forbedring i $c_j$ = tillatt økning i $c_j$
•Målverdi ved endret basiskoeffisient: $\Delta z = \Delta c_j \cdot x_j^*$
•Alternativkostnad for ordre: $\displaystyle \sum_i (\text{ressursbruk}_i \times y_i)$
•100 %-regel: $\displaystyle \sum_j \dfrac{|\Delta c_j|}{\text{tillatt endring}_j} \le 1$
•Sterk dualitet: $\displaystyle \sum_i y_i b_i = z^*$

Heltalls- og binærprogrammering

•Fixed-charge målfunksjon: $\displaystyle \min \sum_i (\text{fast}_i \, y_i + \text{var}_i \, x_i)$
•Koblingsbetingelse: $x_i \le M_i \, y_i, \quad y_i \in \{0,1\}$
•Minimum batch: $x_i \ge L_i \, y_i$ (gir $x_i \in \{0\} \cup [L_i, M_i]$ )
•Hvis-så (B krever A): $y_B \le y_A$
•Minst/høyst k av n: $\displaystyle \sum_i y_i \ge k$ eller $\displaystyle \sum_i y_i \le k$ ; nøyaktig k: $\displaystyle \sum_i y_i = k$
•Gjensidig utelukkende: $y_1 + y_2 \le 1$ ; avhengige: $y_1 = y_2$
•Knapsack (prosjektvalg): $\displaystyle \max \sum_i \text{NPV}_i \, y_i$ gitt $\displaystyle \sum_i \text{kost}_i \, y_i \le B$
•Facility location: $\displaystyle \min \sum_i f_i y_i + \sum_{i,j} c_{ij} x_{ij}$ gitt $\displaystyle \sum_j x_{ij} \le \text{kap}_i y_i$

Ikke-lineær optimering og porteføljevalg

• $\sigma_p^2 = w^T\Sigma w, \quad E[r_p] = w^T\mu$
• $\sigma_p^2 = w_A^2\sigma_A^2 + w_B^2\sigma_B^2 + 2w_Aw_B\rho\sigma_A\sigma_B$
• $\text{Cov}(i,j) = \rho_{ij}\,\sigma_i\,\sigma_j$
•Min-varians (2 aktiva): $w_A = \dfrac{\sigma_B^2 - \text{Cov}}{\sigma_A^2 + \sigma_B^2 - 2\,\text{Cov}}$
• $n$ ukorrelerte like aktiva, likevektet: $\sigma_p = \sigma/\sqrt{n}$
•Prisoptimering (lineær etterspørsel): $P^* = \dfrac{a+bc}{2b}$ , med $\pi''=-2b<0$
•Konstant elastisitet: $P^* = \dfrac{ce}{e-1}$ , optimalt påslag $\dfrac{1}{e-1}$ (krever $e>1$ )
•Sharpe-rate: $S = \dfrac{E[r_p]-r_f}{\sigma_p}$

Transport-, tilordnings- og nettverksmodeller

• $\displaystyle \min \sum_i\sum_j c_{ij}x_{ij}$
• $\displaystyle \sum_j x_{ij}=S_i,\quad \sum_i x_{ij}=D_j,\quad x_{ij}\ge0$
•Balanse: $\displaystyle \sum_i S_i=\sum_j D_j$
•Basisruter i transport: $m+n-1$
•Redusert kostnad: $\bar c_{ij}=c_{ij}-(u_i+v_j)$
•Basis-relasjon: $u_i+v_j=c_{ij}$ (brukte ruter)
•Tilordning: $\displaystyle x_{ij}\in\{0,1\},\ \sum_j x_{ij}=1,\ \sum_i x_{ij}=1$
•Maks flyt = kapasitet til minste snitt (maks-flyt–min-snitt)

Lagerstyring og EOQ

• $TC(Q)=\dfrac{D}{Q}S+\dfrac{Q}{2}H$
•Antall ordrer: $N=D/Q$ ; syklisk lager: $Q/2$
• $ROP=d\cdot L+SS$
• $SS=z\cdot\sigma_d\cdot\sqrt{L}$
•Med rabatt: $TC=D\,p+\dfrac{D}{Q}S+\dfrac{Q}{2}H$
•EPQ: $Q^*=\sqrt{\dfrac{2DS}{H}\cdot\dfrac{p}{p-d}}$

Prognoser og etterspørselsestimering

•Glidende gj.snitt: $\displaystyle \hat Y_{t+1}=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}Y_{t-i}$
•Enkel glatting: $S_t=\alpha Y_t+(1-\alpha)S_{t-1}$ , $\hat Y_{T+h}=S_T$
•Holt nivå: $L_t=\alpha Y_t+(1-\alpha)(L_{t-1}+T_{t-1})$
•Holt trend: $T_t=\beta(L_t-L_{t-1})+(1-\beta)T_{t-1}$ , $\hat Y_{T+h}=L_T+h\,T_T$
•Sesongprognose: $\hat Y=\text{trend}\times\text{sesongindeks}$
•MAD $\displaystyle =\frac{1}{n}\sum|Y_t-\hat Y_t|$
•MSE $\displaystyle =\frac{1}{n}\sum(Y_t-\hat Y_t)^2$
•MAPE $\displaystyle =\frac{100}{n}\sum\left|\frac{Y_t-\hat Y_t}{Y_t}\right|$

Beslutningsanalyse, beslutningstrær og simulering

•EMV: $\displaystyle \text{EMV}=\sum_j p_j\,x_j$
•Regret: $r_{aj}=\max_a x_{aj}-x_{aj}$
•EVwPI: $\displaystyle \sum_j p_j\,\max_a x_{aj}$
•EVPI $=\text{EVwPI}-\text{beste EMV}$
•EVSI $=\text{EMV med test}-\text{beste EMV uten}$ ; $0\le\text{EVSI}\le\text{EVPI}$
•Bayes: $P(S|\text{sig})=\dfrac{P(\text{sig}|S)P(S)}{P(\text{sig})}$
•Eksponentiell nytte: $U(x)=1-e^{-x/R}$
•Sikkerhetsekvivalent: $U(\text{CE})=\text{E}[U]$ , risikopremie $=\text{EMV}-\text{CE}$

Vanlige feil å unngå

Lineær programmering

•Å bruke likhet ( $=$ ) på en kapasitet som egentlig er et tak ( $\le$ ), slik at ubrukt kapasitet forbys.
•Å blande enheter i samme bibetingelse (f.eks. summere timer og kroner).
•Å glemme ikke-negativitetskravet, slik at Solver kan gi negative produksjonstall.
•Å evaluere målfunksjonen i bare ett hjørne i grafisk løsning i stedet for å sjekke alle kandidathjørner.
•Å behandle et udelelig antall (hele maskiner) som en LP – da trengs heltallsprogrammering.
•Å bruke LP-motoren på en ikke-lineær målfunksjon (f.eks. pris som avhenger av volum).

Sensitivitetsanalyse og skyggepriser

•Å bruke skyggeprisen utenfor det tillatte RHS-intervallet og dermed over-/undervurdere effekten.
•Å forveksle skyggepris (bibetingelse) med redusert kost (variabel).
•Å tro at en positiv skyggepris betyr at ressursen har ledig kapasitet – det motsatte er tilfellet (bindende).
•Å tolke skyggeprisen på arbeid som markedslønnen; den er modellens interne marginalverdi.
•Å overse degenerasjon, der en bindende bibetingelse kan ha skyggepris 0 og ranging blir tvetydig.
•Å legge sammen fulle tillatte endringer for flere koeffisienter uten å bruke 100 %-regelen.

Heltalls- og binærprogrammering

•Å avrunde LP-relaksasjonens løsning og anta at den er optimal – den er ofte ugyldig eller suboptimal (avrundingsfellen).
•Å glemme koblingsbetingelsen $x \le M y$ , slik at den faste kostnaden aldri påløper i modellen.
•Å bruke en unødig stor Big-M, som svekker LP-relaksasjonen og gjør branch-and-bound tregt.
•Å tro at flere logiske betingelser kan forbedre optimalverdien – ekstra restriksjoner kan bare gjøre den dårligere eller uendret.
•Å velge alternativet med lavest variabel pris uten å regne med den faste kostnaden – i fixed-charge-modeller kan det bli dyrest totalt.

Ikke-lineær optimering og porteføljevalg

•Å bruke Simplex LP på et kvadratisk problem, eller å glemme kovariansleddene i porteføljevariansen (bare summere diagonalen i $\Sigma$ ).
•Å stole på GRG-løsningen som global i et ikke-konvekst problem uten å kjøre Multistart eller teste flere startpunkter.
•Å hoppe over 2.-ordens sjekk i prisoptimering og forveksle et minimum (eller randpunkt) med et maksimum.
•Å blande inntektsmaksimering ( $P=a/2b$ ) med profittmaksimering ( $P=(a+bc)/2b$ ), eller å tro at $e\le1$ gir en endelig optimal pris.
•Å sette et avkastningskrav høyere enn oppnåelig med no-short og budsjett = 1, og bli forvirret av «Solver could not find a feasible solution».

Transport-, tilordnings- og nettverksmodeller

•Glemme å balansere problemet før løsning (dummy mangler), slik at modellen blir uløselig eller feil.
•Gi hver ressurs sin individuelt billigste rute/oppgave uten å ta hensyn til at flere konkurrerer om samme.
•Tolke skyggeprisen utenfor gyldighetsintervallet (Allowable Increase/Decrease) som om den gjaldt ubegrenset.
•Tro at å utvide en hvilken som helst kant øker maks flyt – bare kanter i min-snittet teller.
•Sette høy kostnad i stedet for 0 på dummy-ruter (eller motsatt), slik at overskudd/underskudd feilbelastes.

Lagerstyring og EOQ

•Glemme innkjøpskostnaden $D\,p$ i kvantumsrabatt-sammenligninger, slik at rabatten ikke fanges opp.
•Bruke $L$ i stedet for $\sqrt L$ i sikkerhetslagerformelen, som overvurderer bufferet ved lang ledetid.
•Blande daglig og årlig etterspørsel – EOQ bruker årlig $D$ , mens bestillingspunktet bruker daglig $d$ .
•Anta at EOQ må rundes til nærmeste hundre uten å sjekke kostnadskonsekvensen (kurven er flat, så det er ofte greit).
•Tro at høyere servicegrad koster lineært – sikkerhetslageret vokser med $z$ , som stiger raskt mot 99 %.

Prognoser og etterspørselsestimering

•Bruke enkel glatting/glidende gjennomsnitt på data med tydelig trend – prognosen henger systematisk etter.
•Glemme at vektene i et veid glidende gjennomsnitt må summere til 1.
•Forveksle deseasonalisering (dele på indeks) med å gange med indeks.
•Sammenligne metoder på bare ett feilmål; MAD og MSE kan rangere ulikt.
•Ekstrapolere en lineær trend langt frem uten å ta forbehold om at trenden kan endre seg.

Beslutningsanalyse, beslutningstrær og simulering

•Bruke EMV-kriteriet når sannsynlighetene mangler – da må man bruke maximin/maximax/regret.
•Regne regret radvis i stedet for kolonnevis (regret = kolonnens beste minus cellen).
•Løse et beslutningstre forfra i stedet for å rulle tilbake bakfra.
•Glemme å oppdatere sannsynlighetene med Bayes før man bruker et testresultat.
•Stole på et deterministisk punkt-estimat og overse P(tap) og spredning fra simuleringen.
•Anta at CE = EMV for en risikoavers – CE er alltid lavere, og differansen er risikopremien.

Eksamenstips

Lineær programmering

•Definer alltid beslutningsvariablene i ord med enhet før du skriver modellen – det gir uttelling selv om resten glipper.
•Velg riktig ulikhetstegn: kapasitet gir $\le$ , minimumskrav gir $\ge$ , fast blandingsmengde gir $=$ .
•Ved to variabler: tegn feasibelt område og evaluer målfunksjonen i ALLE hjørner – optimum ligger alltid i et hjørne.
•Kontroller løsningen ved å sette den inn i hver bibetingelse og sjekke hvilke som er bindende.
•Pass på enhetskonsistens og at du bruker Standard LP-motoren (lineær) – ikke-lineære ledd krever GRG Nonlinear.

Sensitivitetsanalyse og skyggepriser

•Skill alltid skyggepris (hører til en bibetingelse) fra redusert kost (hører til en variabel).
•Sjekk at endringen ligger innenfor tillatt økning/reduksjon FØR du multipliserer med skyggeprisen.
•Bruk skyggeprisen som beslutningsregel: leie inn ressurs lønner seg hvis skyggepris > innleiepris.
•Vurder spesialordrer med alternativkostnad = sum av (ressursbruk × skyggepris).
•Ved samtidige endringer i flere koeffisienter: bruk 100 %-regelen (sum av andeler $\le 100\%$ ).

Heltalls- og binærprogrammering

•Skill alltid tydelig mellom mengdevariabelen $x$ (hvor mye) og binærvariabelen $y$ (om i det hele tatt) – det er kjernen i enhver fixed-charge-modell.
•Ikke glem koblingsbetingelsen $x \le M y$ ; uten den 'forsvinner' den faste kostnaden og modellen blir feil.
•Velg Big-M lik den strammeste øvre grensen (kapasitet eller totalbehov), aldri et vilkårlig stort tall – det gir raskere og mer stabil løsning.
•Ved avrundingsspørsmål: vis konkret at avrunding enten bryter en bibetingelse eller gir lavere verdi enn heltallsoptimet – og konkluder at modellen må løses med branch-and-bound.
•Oversett verbal logikk til betingelser systematisk: 'hvis-så' → $y_B \le y_A$ , 'høyst k' → $\displaystyle \sum y_i \le k$ , 'gjensidig utelukkende' → $y_1+y_2 \le 1$ .

Ikke-lineær optimering og porteføljevalg

•Bruk GRG Nonlinear (ikke Simplex LP) på kvadratiske/ikke-lineære mål, og forklar hvorfor: målfunksjonen $w^T\Sigma w$ eller $(P-c)(a-bP)$ er ikke-lineær.
•Regn porteføljevariansen med MMULT/SUMPRODUCT slik at ALLE kovariansledd er med – ikke bare diagonalen; det er den vanligste modelleringsfeilen.
•Etter enhver ikke-lineær Solver-kjøring: sjekk 2.-ordens (maksimum?) og vurder om problemet er konvekst; er det ikke-konvekst, kjør Multistart og oppgi at du har gjort det.
•Ved avkastningskrav: kommentér om betingelsen er bindende ( $w^T\mu=r^*$ ) og forklar bytteforholdet risiko/avkastning langs effisient front.
•For prisoppgaver: bekreft alltid med både kalkulus ( $\pi'=0$ , $\pi''<0$ ) og Solver, og skill inntektsmaks fra profittmaks.

Transport-, tilordnings- og nettverksmodeller

•Start alltid med å sjekke balanse (sum tilbud vs. sum etterspørsel) og legg til dummy med kostnad 0 hvis nødvendig.
•Skriv modellen eksplisitt: definer $x_{ij}$ , målfunksjon $\displaystyle \min\sum c_{ij}x_{ij}$ og alle rad-/kolonnebibetingelser.
•Kontrollregn totalkostnaden fra den oppgitte planen – det avslører feil-avlesning av Solver-tabellen.
•Tolk skyggepris (marginalkostnad per ekstra enhet behov/tilbud) og redusert kostnad (straff for å bruke en tom rute) som konkrete beslutninger.
•For maks flyt: finn min-snittet – det er flaskehalsen du må utvide for å øke flyten.

Lagerstyring og EOQ

•Regn alltid ut ordrekostnad og lagerkostnad hver for seg og sjekk at de er like store i optimum – en rask kontroll på $Q^*$ .
•Ved kvantumsrabatt: husk å ta med innkjøpskostnaden $D\,p$ , og bruk prisgrensen som kandidat når EOQ er ugyldig i steget.
•Skill klart mellom 'hvor mye' (EOQ) og 'når' (bestillingspunktet R); oppgaver blander dem ofte.
•For sikkerhetslager: bruk riktig z-verdi for servicegraden og husk $\sqrt L$ (ikke $L$ ) under ledetiden.
•Ved følsomhetsspørsmål: bruk at $Q^*\propto\sqrt{D}$ , $\sqrt{S}$ og $1/\sqrt{H}$ – da slipper du å regne på nytt.

Prognoser og etterspørselsestimering

•Vis alltid mellomregningene i glatting/gjennomsnitt – delkarakteren ligger i oppsettet, ikke bare sluttallet.
•Husk at enkel eksponentiell glatting og glidende gjennomsnitt gir FLAT prognose; bruk Holt når serien har trend.
•Ved sesong: deseasonaliser ( $Y_t/S_t$ ), finn trend, og gang trendprognosen med riktig sesongindeks.
•Når du skal anbefale en metode, sammenlign på MAD OG MSE – lav MSE betyr færre store bom.
•Tolk Analytic Solver-utskrifter: forklar at $\alpha$ (og $\beta$ ) er valgt for å minimere MSE på historikken.

Beslutningsanalyse, beslutningstrær og simulering

•Sett alltid opp beslutningstabellen ryddig og regn EMV per alternativ FØR du drøfter kriterier.
•Husk hvilken retning kriteriene peker: maximin=pessimist, maximax=optimist, minimax-regret via angre-tabell.
•I beslutningstrær: rull tilbake bakfra – EMV i sjansenoder, velg beste gren i beslutningsnoder.
•EVPI = EVwPI − beste EMV er taket for informasjonsverdi; EVSI (imperfekt test) må alltid ligge mellom 0 og EVPI.
•Ved simulering: tolk forventning, standardavvik, P(tap) og persentiler – ikke bare punkt-estimatet. Oppgi seed for reproduserbarhet.
•Regn sikkerhetsekvivalent når oppgaven nevner risikoaversjon: risikopremie = EMV − CE.

BED4

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Bedriftsøkonomiske beslutninger

eksamenssett.no

Formler

Lineær programmering

•Standardform: $\max\; c^\top x$ gitt $Ax \le b,\; x \ge 0$
•Skyggepris $=\dfrac{\Delta z^*}{\Delta b_i}$ (innenfor tillatt endring)
•Bindende bibetingelse: slakk $=0$

Heltalls-/binærprogrammering

•Binær: $x_i \in \{0,1\}$
•Fast kostnad: $\text{kost}=f\,y + v\,x,\; x \le M y,\; y\in\{0,1\}$
•Enten-eller: $x_1+x_2 \le 1$

Ikke-lineær / portefølje

•Porteføljevarians $\sigma_p^2 = w^\top \Sigma\, w$
•Min varians gitt avkastning: $\min\; w^\top\Sigma w$ gitt $\displaystyle w^\top\mu = r,\; \sum w_i = 1$
•Konstant elastisitet: påslag $=\dfrac{1}{e-1}$

Transport / nettverk

•Balansert: $\displaystyle \sum \text{tilbud} = \sum \text{etterspørsel}$
•Transport: $\displaystyle \min \sum_{ij} c_{ij}x_{ij}$
•Tilordning: $x_{ij}\in\{0,1\}$ , én per rad/kolonne

Lagerstyring (EOQ)

• $Q^*=\sqrt{\dfrac{2DS}{H}}$
• $TC^*=\sqrt{2DSH}$
•Bestillingspunkt $ROP = d\cdot L + \text{sikkerhetslager}$
•EPQ: $Q^*=\sqrt{\dfrac{2DS}{H(1-d/p)}}$

Prognoser

•Eksponentiell glatting: $F_{t+1}=\alpha Y_t+(1-\alpha)F_t$
•Holt (trend): $L_t=\alpha Y_t+(1-\alpha)(L_{t-1}+T_{t-1})$
• $\displaystyle MAD=\dfrac{\sum|e_t|}{n},\; MAPE=\dfrac{100}{n}\sum\dfrac{|e_t|}{Y_t}$

Beslutningsanalyse

• $\displaystyle EMV=\sum_i p_i \cdot v_i$
•Regret $=\max_j v_j - v_{ij}$
• $EVPI = EV_{\text{perfekt info}} - \max EMV$
•Sikkerhetsekvivalent: $U(CE)=E[U]$

Nøkkelformler per tema

Lineær programmering

• $\max\ z = c_1x_1 + c_2x_2 + \dots + c_nx_n$
• $\text{ressursbruk} \le \text{kapasitet}:\ a_{i1}x_1 + \dots + a_{in}x_n \le b_i$
•Ikke-negativitet: $x_j \ge 0$ for alle $j$
•Standardform (slakk): $a_{i1}x_1 + \dots + a_{in}x_n + s_i = b_i,\ s_i \ge 0$
•Overskudd ( $\ge$ -krav): $\text{LHS} - s_i = b_i,\ s_i \ge 0$
•Andelskrav «minst $p$ av totalen»: $x_k \ge p\,(x_1 + \dots + x_n)$
•Min = $-\max(-z)$

Sensitivitetsanalyse og skyggepriser

•Skyggepris: $y_i = \dfrac{\Delta z^*}{\Delta b_i}$ (innen tillatt RHS-endring)
•Endring i målverdi: $\Delta z^* = y_i \cdot \Delta b_i$
•Komplementær slakkhet: $s_i \cdot y_i = 0$
•Redusert kost (nullvariabel) = nødvendig forbedring i $c_j$ = tillatt økning i $c_j$
•Målverdi ved endret basiskoeffisient: $\Delta z = \Delta c_j \cdot x_j^*$
•Alternativkostnad for ordre: $\displaystyle \sum_i (\text{ressursbruk}_i \times y_i)$
•100 %-regel: $\displaystyle \sum_j \dfrac{|\Delta c_j|}{\text{tillatt endring}_j} \le 1$
•Sterk dualitet: $\displaystyle \sum_i y_i b_i = z^*$

Heltalls- og binærprogrammering

•Fixed-charge målfunksjon: $\displaystyle \min \sum_i (\text{fast}_i \, y_i + \text{var}_i \, x_i)$
•Koblingsbetingelse: $x_i \le M_i \, y_i, \quad y_i \in \{0,1\}$
•Minimum batch: $x_i \ge L_i \, y_i$ (gir $x_i \in \{0\} \cup [L_i, M_i]$ )
•Hvis-så (B krever A): $y_B \le y_A$
•Minst/høyst k av n: $\displaystyle \sum_i y_i \ge k$ eller $\displaystyle \sum_i y_i \le k$ ; nøyaktig k: $\displaystyle \sum_i y_i = k$
•Gjensidig utelukkende: $y_1 + y_2 \le 1$ ; avhengige: $y_1 = y_2$
•Knapsack (prosjektvalg): $\displaystyle \max \sum_i \text{NPV}_i \, y_i$ gitt $\displaystyle \sum_i \text{kost}_i \, y_i \le B$
•Facility location: $\displaystyle \min \sum_i f_i y_i + \sum_{i,j} c_{ij} x_{ij}$ gitt $\displaystyle \sum_j x_{ij} \le \text{kap}_i y_i$

Ikke-lineær optimering og porteføljevalg

• $\sigma_p^2 = w^T\Sigma w, \quad E[r_p] = w^T\mu$
• $\sigma_p^2 = w_A^2\sigma_A^2 + w_B^2\sigma_B^2 + 2w_Aw_B\rho\sigma_A\sigma_B$
• $\text{Cov}(i,j) = \rho_{ij}\,\sigma_i\,\sigma_j$
•Min-varians (2 aktiva): $w_A = \dfrac{\sigma_B^2 - \text{Cov}}{\sigma_A^2 + \sigma_B^2 - 2\,\text{Cov}}$
• $n$ ukorrelerte like aktiva, likevektet: $\sigma_p = \sigma/\sqrt{n}$
•Prisoptimering (lineær etterspørsel): $P^* = \dfrac{a+bc}{2b}$ , med $\pi''=-2b<0$
•Konstant elastisitet: $P^* = \dfrac{ce}{e-1}$ , optimalt påslag $\dfrac{1}{e-1}$ (krever $e>1$ )
•Sharpe-rate: $S = \dfrac{E[r_p]-r_f}{\sigma_p}$

Transport-, tilordnings- og nettverksmodeller

• $\displaystyle \min \sum_i\sum_j c_{ij}x_{ij}$
• $\displaystyle \sum_j x_{ij}=S_i,\quad \sum_i x_{ij}=D_j,\quad x_{ij}\ge0$
•Balanse: $\displaystyle \sum_i S_i=\sum_j D_j$
•Basisruter i transport: $m+n-1$
•Redusert kostnad: $\bar c_{ij}=c_{ij}-(u_i+v_j)$
•Basis-relasjon: $u_i+v_j=c_{ij}$ (brukte ruter)
•Tilordning: $\displaystyle x_{ij}\in\{0,1\},\ \sum_j x_{ij}=1,\ \sum_i x_{ij}=1$
•Maks flyt = kapasitet til minste snitt (maks-flyt–min-snitt)

Lagerstyring og EOQ

• $TC(Q)=\dfrac{D}{Q}S+\dfrac{Q}{2}H$
•Antall ordrer: $N=D/Q$ ; syklisk lager: $Q/2$
• $ROP=d\cdot L+SS$
• $SS=z\cdot\sigma_d\cdot\sqrt{L}$
•Med rabatt: $TC=D\,p+\dfrac{D}{Q}S+\dfrac{Q}{2}H$
•EPQ: $Q^*=\sqrt{\dfrac{2DS}{H}\cdot\dfrac{p}{p-d}}$

Prognoser og etterspørselsestimering

•Glidende gj.snitt: $\displaystyle \hat Y_{t+1}=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}Y_{t-i}$
•Enkel glatting: $S_t=\alpha Y_t+(1-\alpha)S_{t-1}$ , $\hat Y_{T+h}=S_T$
•Holt nivå: $L_t=\alpha Y_t+(1-\alpha)(L_{t-1}+T_{t-1})$
•Holt trend: $T_t=\beta(L_t-L_{t-1})+(1-\beta)T_{t-1}$ , $\hat Y_{T+h}=L_T+h\,T_T$
•Sesongprognose: $\hat Y=\text{trend}\times\text{sesongindeks}$
•MAD $\displaystyle =\frac{1}{n}\sum|Y_t-\hat Y_t|$
•MSE $\displaystyle =\frac{1}{n}\sum(Y_t-\hat Y_t)^2$
•MAPE $\displaystyle =\frac{100}{n}\sum\left|\frac{Y_t-\hat Y_t}{Y_t}\right|$

Beslutningsanalyse, beslutningstrær og simulering

•EMV: $\displaystyle \text{EMV}=\sum_j p_j\,x_j$
•Regret: $r_{aj}=\max_a x_{aj}-x_{aj}$
•EVwPI: $\displaystyle \sum_j p_j\,\max_a x_{aj}$
•EVPI $=\text{EVwPI}-\text{beste EMV}$
•EVSI $=\text{EMV med test}-\text{beste EMV uten}$ ; $0\le\text{EVSI}\le\text{EVPI}$
•Bayes: $P(S|\text{sig})=\dfrac{P(\text{sig}|S)P(S)}{P(\text{sig})}$
•Eksponentiell nytte: $U(x)=1-e^{-x/R}$
•Sikkerhetsekvivalent: $U(\text{CE})=\text{E}[U]$ , risikopremie $=\text{EMV}-\text{CE}$

Vanlige feil å unngå

Lineær programmering

•Å bruke likhet ( $=$ ) på en kapasitet som egentlig er et tak ( $\le$ ), slik at ubrukt kapasitet forbys.
•Å blande enheter i samme bibetingelse (f.eks. summere timer og kroner).
•Å glemme ikke-negativitetskravet, slik at Solver kan gi negative produksjonstall.
•Å evaluere målfunksjonen i bare ett hjørne i grafisk løsning i stedet for å sjekke alle kandidathjørner.
•Å behandle et udelelig antall (hele maskiner) som en LP – da trengs heltallsprogrammering.
•Å bruke LP-motoren på en ikke-lineær målfunksjon (f.eks. pris som avhenger av volum).

Sensitivitetsanalyse og skyggepriser

•Å bruke skyggeprisen utenfor det tillatte RHS-intervallet og dermed over-/undervurdere effekten.
•Å forveksle skyggepris (bibetingelse) med redusert kost (variabel).
•Å tro at en positiv skyggepris betyr at ressursen har ledig kapasitet – det motsatte er tilfellet (bindende).
•Å tolke skyggeprisen på arbeid som markedslønnen; den er modellens interne marginalverdi.
•Å overse degenerasjon, der en bindende bibetingelse kan ha skyggepris 0 og ranging blir tvetydig.
•Å legge sammen fulle tillatte endringer for flere koeffisienter uten å bruke 100 %-regelen.

Heltalls- og binærprogrammering

•Å avrunde LP-relaksasjonens løsning og anta at den er optimal – den er ofte ugyldig eller suboptimal (avrundingsfellen).
•Å glemme koblingsbetingelsen $x \le M y$ , slik at den faste kostnaden aldri påløper i modellen.
•Å bruke en unødig stor Big-M, som svekker LP-relaksasjonen og gjør branch-and-bound tregt.
•Å tro at flere logiske betingelser kan forbedre optimalverdien – ekstra restriksjoner kan bare gjøre den dårligere eller uendret.
•Å velge alternativet med lavest variabel pris uten å regne med den faste kostnaden – i fixed-charge-modeller kan det bli dyrest totalt.

Ikke-lineær optimering og porteføljevalg

•Å bruke Simplex LP på et kvadratisk problem, eller å glemme kovariansleddene i porteføljevariansen (bare summere diagonalen i $\Sigma$ ).
•Å stole på GRG-løsningen som global i et ikke-konvekst problem uten å kjøre Multistart eller teste flere startpunkter.
•Å hoppe over 2.-ordens sjekk i prisoptimering og forveksle et minimum (eller randpunkt) med et maksimum.
•Å blande inntektsmaksimering ( $P=a/2b$ ) med profittmaksimering ( $P=(a+bc)/2b$ ), eller å tro at $e\le1$ gir en endelig optimal pris.
•Å sette et avkastningskrav høyere enn oppnåelig med no-short og budsjett = 1, og bli forvirret av «Solver could not find a feasible solution».

Transport-, tilordnings- og nettverksmodeller

•Glemme å balansere problemet før løsning (dummy mangler), slik at modellen blir uløselig eller feil.
•Gi hver ressurs sin individuelt billigste rute/oppgave uten å ta hensyn til at flere konkurrerer om samme.
•Tolke skyggeprisen utenfor gyldighetsintervallet (Allowable Increase/Decrease) som om den gjaldt ubegrenset.
•Tro at å utvide en hvilken som helst kant øker maks flyt – bare kanter i min-snittet teller.
•Sette høy kostnad i stedet for 0 på dummy-ruter (eller motsatt), slik at overskudd/underskudd feilbelastes.

Lagerstyring og EOQ

•Glemme innkjøpskostnaden $D\,p$ i kvantumsrabatt-sammenligninger, slik at rabatten ikke fanges opp.
•Bruke $L$ i stedet for $\sqrt L$ i sikkerhetslagerformelen, som overvurderer bufferet ved lang ledetid.
•Blande daglig og årlig etterspørsel – EOQ bruker årlig $D$ , mens bestillingspunktet bruker daglig $d$ .
•Anta at EOQ må rundes til nærmeste hundre uten å sjekke kostnadskonsekvensen (kurven er flat, så det er ofte greit).
•Tro at høyere servicegrad koster lineært – sikkerhetslageret vokser med $z$ , som stiger raskt mot 99 %.

Prognoser og etterspørselsestimering

•Bruke enkel glatting/glidende gjennomsnitt på data med tydelig trend – prognosen henger systematisk etter.
•Glemme at vektene i et veid glidende gjennomsnitt må summere til 1.
•Forveksle deseasonalisering (dele på indeks) med å gange med indeks.
•Sammenligne metoder på bare ett feilmål; MAD og MSE kan rangere ulikt.
•Ekstrapolere en lineær trend langt frem uten å ta forbehold om at trenden kan endre seg.

Beslutningsanalyse, beslutningstrær og simulering

•Bruke EMV-kriteriet når sannsynlighetene mangler – da må man bruke maximin/maximax/regret.
•Regne regret radvis i stedet for kolonnevis (regret = kolonnens beste minus cellen).
•Løse et beslutningstre forfra i stedet for å rulle tilbake bakfra.
•Glemme å oppdatere sannsynlighetene med Bayes før man bruker et testresultat.
•Stole på et deterministisk punkt-estimat og overse P(tap) og spredning fra simuleringen.
•Anta at CE = EMV for en risikoavers – CE er alltid lavere, og differansen er risikopremien.

Eksamenstips

Lineær programmering

•Definer alltid beslutningsvariablene i ord med enhet før du skriver modellen – det gir uttelling selv om resten glipper.
•Velg riktig ulikhetstegn: kapasitet gir $\le$ , minimumskrav gir $\ge$ , fast blandingsmengde gir $=$ .
•Ved to variabler: tegn feasibelt område og evaluer målfunksjonen i ALLE hjørner – optimum ligger alltid i et hjørne.
•Kontroller løsningen ved å sette den inn i hver bibetingelse og sjekke hvilke som er bindende.
•Pass på enhetskonsistens og at du bruker Standard LP-motoren (lineær) – ikke-lineære ledd krever GRG Nonlinear.

Sensitivitetsanalyse og skyggepriser

•Skill alltid skyggepris (hører til en bibetingelse) fra redusert kost (hører til en variabel).
•Sjekk at endringen ligger innenfor tillatt økning/reduksjon FØR du multipliserer med skyggeprisen.
•Bruk skyggeprisen som beslutningsregel: leie inn ressurs lønner seg hvis skyggepris > innleiepris.
•Vurder spesialordrer med alternativkostnad = sum av (ressursbruk × skyggepris).
•Ved samtidige endringer i flere koeffisienter: bruk 100 %-regelen (sum av andeler $\le 100\%$ ).

Heltalls- og binærprogrammering

•Skill alltid tydelig mellom mengdevariabelen $x$ (hvor mye) og binærvariabelen $y$ (om i det hele tatt) – det er kjernen i enhver fixed-charge-modell.
•Ikke glem koblingsbetingelsen $x \le M y$ ; uten den 'forsvinner' den faste kostnaden og modellen blir feil.
•Velg Big-M lik den strammeste øvre grensen (kapasitet eller totalbehov), aldri et vilkårlig stort tall – det gir raskere og mer stabil løsning.
•Ved avrundingsspørsmål: vis konkret at avrunding enten bryter en bibetingelse eller gir lavere verdi enn heltallsoptimet – og konkluder at modellen må løses med branch-and-bound.
•Oversett verbal logikk til betingelser systematisk: 'hvis-så' → $y_B \le y_A$ , 'høyst k' → $\displaystyle \sum y_i \le k$ , 'gjensidig utelukkende' → $y_1+y_2 \le 1$ .

Ikke-lineær optimering og porteføljevalg

•Bruk GRG Nonlinear (ikke Simplex LP) på kvadratiske/ikke-lineære mål, og forklar hvorfor: målfunksjonen $w^T\Sigma w$ eller $(P-c)(a-bP)$ er ikke-lineær.
•Regn porteføljevariansen med MMULT/SUMPRODUCT slik at ALLE kovariansledd er med – ikke bare diagonalen; det er den vanligste modelleringsfeilen.
•Etter enhver ikke-lineær Solver-kjøring: sjekk 2.-ordens (maksimum?) og vurder om problemet er konvekst; er det ikke-konvekst, kjør Multistart og oppgi at du har gjort det.
•Ved avkastningskrav: kommentér om betingelsen er bindende ( $w^T\mu=r^*$ ) og forklar bytteforholdet risiko/avkastning langs effisient front.
•For prisoppgaver: bekreft alltid med både kalkulus ( $\pi'=0$ , $\pi''<0$ ) og Solver, og skill inntektsmaks fra profittmaks.

Transport-, tilordnings- og nettverksmodeller

•Start alltid med å sjekke balanse (sum tilbud vs. sum etterspørsel) og legg til dummy med kostnad 0 hvis nødvendig.
•Skriv modellen eksplisitt: definer $x_{ij}$ , målfunksjon $\displaystyle \min\sum c_{ij}x_{ij}$ og alle rad-/kolonnebibetingelser.
•Kontrollregn totalkostnaden fra den oppgitte planen – det avslører feil-avlesning av Solver-tabellen.
•Tolk skyggepris (marginalkostnad per ekstra enhet behov/tilbud) og redusert kostnad (straff for å bruke en tom rute) som konkrete beslutninger.
•For maks flyt: finn min-snittet – det er flaskehalsen du må utvide for å øke flyten.

Lagerstyring og EOQ

•Regn alltid ut ordrekostnad og lagerkostnad hver for seg og sjekk at de er like store i optimum – en rask kontroll på $Q^*$ .
•Ved kvantumsrabatt: husk å ta med innkjøpskostnaden $D\,p$ , og bruk prisgrensen som kandidat når EOQ er ugyldig i steget.
•Skill klart mellom 'hvor mye' (EOQ) og 'når' (bestillingspunktet R); oppgaver blander dem ofte.
•For sikkerhetslager: bruk riktig z-verdi for servicegraden og husk $\sqrt L$ (ikke $L$ ) under ledetiden.
•Ved følsomhetsspørsmål: bruk at $Q^*\propto\sqrt{D}$ , $\sqrt{S}$ og $1/\sqrt{H}$ – da slipper du å regne på nytt.

Prognoser og etterspørselsestimering

•Vis alltid mellomregningene i glatting/gjennomsnitt – delkarakteren ligger i oppsettet, ikke bare sluttallet.
•Husk at enkel eksponentiell glatting og glidende gjennomsnitt gir FLAT prognose; bruk Holt når serien har trend.
•Ved sesong: deseasonaliser ( $Y_t/S_t$ ), finn trend, og gang trendprognosen med riktig sesongindeks.
•Når du skal anbefale en metode, sammenlign på MAD OG MSE – lav MSE betyr færre store bom.
•Tolk Analytic Solver-utskrifter: forklar at $\alpha$ (og $\beta$ ) er valgt for å minimere MSE på historikken.

Beslutningsanalyse, beslutningstrær og simulering

•Sett alltid opp beslutningstabellen ryddig og regn EMV per alternativ FØR du drøfter kriterier.
•Husk hvilken retning kriteriene peker: maximin=pessimist, maximax=optimist, minimax-regret via angre-tabell.
•I beslutningstrær: rull tilbake bakfra – EMV i sjansenoder, velg beste gren i beslutningsnoder.
•EVPI = EVwPI − beste EMV er taket for informasjonsverdi; EVSI (imperfekt test) må alltid ligge mellom 0 og EVPI.
•Ved simulering: tolk forventning, standardavvik, P(tap) og persentiler – ikke bare punkt-estimatet. Oppgi seed for reproduserbarhet.
•Regn sikkerhetsekvivalent når oppgaven nevner risikoaversjon: risikopremie = EMV − CE.