Flervariabelanalyse

I virkeligheten avhenger økonomiske størrelser av mange variabler. En produksjonsfunksjon $Q = f(K, L)$ avhenger av både kapital $K$ og arbeidskraft $L$. Flervariabelanalyse gir oss verktøyene for å analysere slike funksjoner.

Partielle deriverte

Den partielle deriverte $\frac{\partial f}{\partial x}$ (også skrevet $f_x$) måler endringsraten i $f$ når $x$ endres, mens alle andre variabler holdes konstant.

Eksempel: Cobb-Douglas

$Q = AK^\alpha L^\beta$

$\frac{\partial Q}{\partial K} = A\alpha K^{\alpha-1} L^\beta$ (marginalprodukt av kapital)

$\frac{\partial Q}{\partial L} = A\beta K^\alpha L^{\beta-1}$ (marginalprodukt av arbeidskraft)

Optimering med to variabler

For å finne ekstremalpunkter til $f(x,y)$:

Sett $f_x = 0$ og $f_y = 0$ (stasjonære punkter)
Bruk andreordensbetingelsen med Hesse-matrisen

Hesse-matrisen: $H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$

$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$

$D > 0$ og $f_{xx} < 0$: lokalt maksimum
$D > 0$ og $f_{xx} > 0$: lokalt minimum
$D < 0$: sadelpunkt

Eksempel

Finn ekstremalpunkter for $f(x,y) = -x^2 - y^2 + 4x + 6y$:

$f_x = -2x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2$

$f_y = -2y + 6 = 0 \Rightarrow y = 3$

$D = (-2)(-2) - 0^2 = 4 > 0$ og $f_{xx} = -2 < 0$ → maksimum i $(2, 3)$.

Studieguide: Flervariabelanalyse