Lineær algebra

Lineær algebra gir verktøy for å løse systemer av likninger effektivt og er grunnlaget for mange økonomiske modeller, inkludert input-output-analyse (Leontief-modellen).

Matriseoperasjoner

En matrise er et rektangulært tallskjema. For to $2 \times 2$-matriser $A$ og $B$:

Addisjon: $(A+B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ (element for element)
Skalarmultiplikasjon: $(kA)_{ij} = k \cdot a_{ij}$
Matrisemultiplikasjon: $(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik}b_{kj}$ — rad ganger søyle

Determinant og invers

For en $2 \times 2$-matrise $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$:

$$\det(A) = ad - bc$$

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

Invers eksisterer kun når $\det(A) \neq 0$.

Lineære likningssystemer

Systemet $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ løses ved:

Invers: $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ (når $A$ er inverterbar)
Gausseliminasjon: radreduksjon av totalmatrisen $[A|\mathbf{b}]$
Cramers regel: $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$ der $A_i$ har $\mathbf{b}$ i søyle $i$

Eksempel: Cramers regel

Løs $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$:

$\det(A) = 2(-1) - 3(1) = -5$

$x = \frac{7(-1) - 3(1)}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$, $y = \frac{2(1) - 7(1)}{-5} = \frac{-5}{-5} = 1$

Studieguide: Lineær algebra

Studieguide: Lineær algebra