Rekker og konvergens

En rekke er en sum av ledd i en følge. I økonomi møter vi rekker i nåverdiberegninger, annuiteter og verdsettelse av evigvarende kontantstrømmer (perpetuities).

Geometriske rekker

Endelig geometrisk rekke

$$S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$$

Uendelig geometrisk rekke (konvergerer for $|r| < 1$)

$$S = \frac{a}{1 - r}$$

Perpetuity (evigvarende kontantstrøm)

En perpetuity med årlig betaling $CF$ og diskonteringsrente $r$:

$$PV = \frac{CF}{r}$$

Med vekst $g$ (Gordon-modellen): $PV = \frac{CF}{r - g}$ (krever $r > g$)

Konvergenskriterier

For generelle rekker $\sum a_n$:

Divergenstest: Hvis $a_n \not\to 0$, divergerer rekken
Forholdstesten: $L = \lim \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$ — konvergerer hvis $L < 1$
Integraltest: Sammenlign med integralet $\int_1^\infty f(x)\,dx$

Taylor-rekker

En funksjon kan tilnærmes med en potensrekke rundt $x = a$:

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$$

Spesielt rundt $a = 0$ (Maclaurin): $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

Eksempel

En aksje betaler 50 kr i utbytte årlig, med 3 % årlig vekst. Avkastningskrav: 8 %.

$PV = \frac{50}{0{,}08 - 0{,}03} = \frac{50}{0{,}05} = 1\,000$ kr

Studieguide: Rekker og konvergens