Estimering handler om å bruke data fra et utvalg til å trekke slutninger om ukjente populasjonsparametere. Vi skiller mellom punktestimater (enkeltverdier) og intervallestimater (konfidensintervall).

Punktestimering

Forventningsretthet:

En estimator $\hat{\theta}$ er forventningsrett for $\theta$ hvis $E(\hat{\theta}) = \theta$.

$\bar{X}$ er forventningsrett for $\mu$ og $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum(X_i - \bar{X})^2$ er forventningsrett for $\sigma^2$.

Standardfeilen til gjennomsnittet:

$SE(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (kjent $\sigma$) eller $SE(\bar{X}) = \frac{s}{\sqrt{n}}$ (ukjent $\sigma$)

Standardfeilen avtar med $\sqrt{n}$ — fire ganger så stort utvalg halverer usikkerheten.

Sentralgrenseteoremet

Sentralgrenseteoremet (SGT):

Når $n$ er tilstrekkelig stor ($n \ge 30$ som tommelfingerregel):

$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$ tilnærmet, uansett fordelingen til $X$.

SGT er grunnlaget for at normalfordelingen er sentral i statistisk inferens.

Konfidensintervall for gjennomsnitt

Kjent $\sigma$ (z-intervall):

$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

95 % KI: $z_{0{,}025} = 1{,}96$. 99 % KI: $z_{0{,}005} = 2{,}576$.

Ukjent $\sigma$ (t-intervall):

$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

Krever at populasjonen er normalfordelt, eller at $n$ er tilstrekkelig stor (SGT).

Konfidensintervall for proporsjon

Proporsjon $\hat{p}$:

$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

Gyldig når $n\hat{p} \ge 5$ og $n(1-\hat{p}) \ge 5$.

Nødvendig utvalgsstørrelse

For gjennomsnitt: $n = \left(\frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}\right)^2$, der $E$ = ønsket feilmargin.
For proporsjon: $n = \left(\frac{z_{\alpha/2}}{E}\right)^2 \cdot \hat{p}(1-\hat{p})$. Bruk $\hat{p} = 0{,}5$ for maksimal utvalgsstørrelse.

Eksempel: 95 % konfidensintervall for gjennomsnitt

Et utvalg på $n = 36$ kunder har gjennomsnittlig kjøpsbeløp $\bar{x} = 450$ kr med $s = 60$ kr. Finn 95 % KI for populasjonsgjennomsnittet.

Siden $n = 36 \ge 30$, bruker vi SGT. Med $t_{0{,}025,\,35} \approx 2{,}030$:

$450 \pm 2{,}030 \cdot \frac{60}{\sqrt{36}} = 450 \pm 2{,}030 \cdot 10 = 450 \pm 20{,}3$

95 % KI: $(429{,}7;\; 470{,}3)$

Vi er 95 % sikre på at det sanne gjennomsnittlige kjøpsbeløpet ligger mellom 429,7 kr og 470,3 kr.

Studieguide: Estimering og konfidensintervall