En sannsynlighetsfordeling beskriver alle mulige verdier en stokastisk variabel kan ta, og sannsynligheten for hver verdi.

Diskrete fordelinger

Forventningsverdi og varians (diskret):

$E(X) = \mu = \sum x_i \cdot P(X = x_i)$

$\text{Var}(X) = \sigma^2 = \sum (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i) = E(X^2) - [E(X)]^2$

Binomisk fordeling $X \sim \text{Bin}(n, p)$:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$, for $k = 0, 1, \ldots, n$

$E(X) = np$, $\text{Var}(X) = np(1-p)$

Bruksområde: Antall suksesser i $n$ uavhengige forsøk med konstant sannsynlighet $p$.

Poisson-fordeling $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$:

$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$, for $k = 0, 1, 2, \ldots$

$E(X) = \lambda$, $\text{Var}(X) = \lambda$

Bruksområde: Antall hendelser per tidsenhet/areal når hendelsene er sjeldne og uavhengige.

Kontinuerlige fordelinger

Normalfordelingen $X \sim N(\mu, \sigma^2)$:

Standardisering: $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$

$P(a \le X \le b) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$

68-95-99,7-regelen: ca. 68 % av observasjonene ligger innenfor $\mu \pm \sigma$, 95 % innenfor $\mu \pm 2\sigma$, 99,7 % innenfor $\mu \pm 3\sigma$.

t-fordelingen:

Brukes når $\sigma$ er ukjent og estimeres med $s$. Frihetsgrader: $df = n - 1$.

Minner om normalfordelingen, men har tykkere haler. Nærmer seg $N(0,1)$ når $n \to \infty$.

Regneregler for forventning og varians

Lineære kombinasjoner:

$E(aX + b) = aE(X) + b$

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$

For uavhengige $X$ og $Y$:

$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$

$\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

Eksempel: Binomisk fordeling

En undersøkelse viser at 40 % av forbrukerne foretrekker merkevare A. I et tilfeldig utvalg på 10 forbrukere, hva er sannsynligheten for at nøyaktig 5 foretrekker A?

$X \sim \text{Bin}(10;\; 0{,}40)$

$P(X = 5) = \binom{10}{5} (0{,}40)^5 (0{,}60)^5 = 252 \cdot 0{,}01024 \cdot 0{,}07776 \approx 0{,}2007$

Sannsynligheten er ca. 20,1 %.

Eksempel: Normalfordelingen

Vekten til produkter fra en fabrikk er normalfordelt med $\mu = 500$ g og $\sigma = 10$ g. Finn sannsynligheten for at et tilfeldig produkt veier mellom 485 og 515 gram.

$P(485 \le X \le 515) = P\left(\frac{485-500}{10} \le Z \le \frac{515-500}{10}\right) = P(-1{,}5 \le Z \le 1{,}5)$

$= \Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5) = 0{,}9332 - 0{,}0668 = 0{,}8664$

Sannsynligheten er ca. 86,6 %.

Studieguide: Sannsynlighetsfordelinger

Studieguide: Sannsynlighetsfordelinger