Sannsynlighetsregning gir det matematiske grunnlaget for å kvantifisere usikkerhet. Vi definerer sannsynligheten $P(A)$ for en hendelse $A$ som et tall mellom 0 og 1.

Grunnleggende regneregler

Addisjonsloven:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

For gjensidig utelukkende hendelser ($A \cap B = \emptyset$): $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Komplementsregelen:

$P(A^c) = 1 - P(A)$

Nyttig når det er enklere å beregne sannsynligheten for komplementet.

Betinget sannsynlighet:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$

Tolkning: Sannsynligheten for $A$ gitt at vi vet at $B$ har inntruffet.

Multiplikasjonsloven:

$P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$

For uavhengige hendelser: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Uavhengighet

Definisjon:

$A$ og $B$ er uavhengige $\Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Ekvivalent: $P(A|B) = P(A)$ — at $B$ har skjedd påvirker ikke sannsynligheten for $A$.

Totallovsetningen og Bayes' setning

Totallovsetningen:

Hvis $B_1, B_2, \ldots, B_k$ er en partisjon av utfallsrommet:

$P(A) = \sum_{i=1}^{k} P(A|B_i) \cdot P(B_i)$

Bayes' setning:

$P(B_j|A) = \frac{P(A|B_j) \cdot P(B_j)}{\sum_{i=1}^{k} P(A|B_i) \cdot P(B_i)}$

Brukes for å «snu» betingede sannsynligheter — fra $P(A|B)$ til $P(B|A)$.

Eksempel: Bayes' setning

En fabrikk har to maskiner. Maskin 1 produserer 70 % av varene og har 3 % feilrate. Maskin 2 produserer 30 % og har 7 % feilrate. En tilfeldig vare er defekt — hva er sannsynligheten for at den ble laget av maskin 2?

$P(D) = P(D|M_1) \cdot P(M_1) + P(D|M_2) \cdot P(M_2) = 0{,}03 \cdot 0{,}70 + 0{,}07 \cdot 0{,}30 = 0{,}021 + 0{,}021 = 0{,}042$

$P(M_2|D) = \frac{P(D|M_2) \cdot P(M_2)}{P(D)} = \frac{0{,}07 \cdot 0{,}30}{0{,}042} = \frac{0{,}021}{0{,}042} = 0{,}50$

Sannsynligheten for maskin 2 gitt defekt er 50 %.

Kombinatorikk

De tre viktigste utvalgstypene ($k$ av $n$ elementer):

Ordnet med tilbakelegging: $n^k$ muligheter (f.eks. svarkombinasjoner i en quiz).

Ordnet uten tilbakelegging: $\frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\cdots(n-k+1)$ (f.eks. rekkefølger, køer).

Uordnet uten tilbakelegging: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (f.eks. komiteer, porteføljer).

Multiplikasjonsprinsippet: valg i flere trinn multipliseres.

Eksempel: Kombinatorikk (eksamenstypisk)

En kunnskapstest på nett har 12 spørsmål med 3 svaralternativer hver, nøyaktig ett rett per spørsmål.

a) Antall svarkombinasjoner totalt: Hvert spørsmål har 3 muligheter uavhengig av de andre: $3^{12} = 531\,441$.

b) Antall kombinasjoner med nøyaktig 11 rette: Velg hvilket spørsmål som besvares galt ($\binom{12}{11} = 12$ måter), og velg ett av 2 gale alternativer: $12 \cdot 2 = 24$.

c) Sannsynligheten for 11 rette ved ren gjetting: $P = \frac{24}{3^{12}} \approx 0{,}0045\,\%$ — eller direkte binomisk: $\binom{12}{11}(1/3)^{11}(2/3)^{1}$.

Eksempel: Utvalg fra grupper

Et utvalg på 4 skal settes sammen fra 9 økonomer og 7 jurister. Hvor mange utvalg har nøyaktig 2 fra hver gruppe — og hva er sannsynligheten for dette ved tilfeldig trekning?

Antall gunstige: $\binom{9}{2}\binom{7}{2} = 36 \cdot 21 = 756$. Antall mulige: $\binom{16}{4} = 1820$.

$P(2 \text{ fra hver}) = \frac{756}{1820} \approx 41{,}5\,\%$ — dette er en hypergeometrisk sannsynlighet.

Studieguide: Sannsynlighetsregning

Studieguide: Sannsynlighetsregning