Hypotesetesting — logikken

En hypotesetest vurderer om data gir statistisk belegg for en påstand om en populasjonsparameter. Nullhypotesen $H_0$ representerer «ingen effekt/ingen forskjell» og inneholder alltid likhet; alternativhypotesen $H_1$ er påstanden vi søker belegg for. Vi beregner en testobservator, finner dens fordeling under $H_0$ (nullfordelingen), og forkaster $H_0$ hvis observatoren er mer ekstrem enn kritisk verdi — ekvivalent: hvis p-verdien er mindre enn signifikansnivået $\alpha$. P-verdien er sannsynligheten for et minst like ekstremt utfall gitt at $H_0$ er sann — ikke sannsynligheten for at $H_0$ er sann. Type I-feil er å forkaste en sann $H_0$ (sannsynlighet $\alpha$); type II-feil er å beholde en gal $H_0$ (sannsynlighet $\beta$); styrken $1-\beta$ øker med større utvalg, større reell effekt og høyere $\alpha$. Sentralgrenseteoremet gjør at $\bar{X}$ er tilnærmet normalfordelt ved store utvalg selv om dataene er skjeve — derfor er t-tester gyldige for f.eks. inntektsdata når $n$ er stor.

Verktøykassen for gruppesammenligning

Ett utvalg: $t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$ med $n-1$ frihetsgrader. To uavhengige grupper: sjekk først lik varians med F-testen $F = s_1^2/s_2^2$ (største varians i teller, frihetsgrader $(n_1-1, n_2-1)$). Forkastes ikke lik varians, brukes pooled-testen med $s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$; forkastes den, brukes Welch: $t = \frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}}$ (R sin default i t.test). Parrede målinger (samme enheter før/etter) analyseres som ett-utvalgs test på differansene: $t = \bar{d}/(s_d/\sqrt{n})$. Andeler i to grupper testes med $z = \frac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(1/n_1+1/n_2)}}$ der $\hat{p}$ er samlet andel — pooled fordi vi regner under $H_0$. Husk skillet standardavvik/standardfeil: oppgir oppgaven SE, skal du ikke dele på $\sqrt{n}$ igjen ($s = SE\cdot\sqrt{n}$).

Gjennomregnet eksempel 1: F-test + t-test fra tabell

Kaffebarkjeden «Brygg & Bønner» sammenligner dagsomsetning (i hundre kroner) ved to filialer: Sentrum har $n_1=36$, $\bar{x}_1=128$, $s_1=24$; Bryggen har $n_2=41$, $\bar{x}_2=115$, $s_2=22$. Er forventet omsetning forskjellig? Først F-testen: $F = 24^2/22^2 = 576/484 = 1{,}19$, som er langt under kritisk verdi $F_{0{,}025}(35,40) \approx 1{,}90$ — lik varians beholdes, og vi bruker pooled. $s_p^2 = \frac{35\cdot576 + 40\cdot484}{75} = 526{,}9$, så $s_p = 22{,}96$ og $SE = 22{,}96\sqrt{1/36+1/41} = 5{,}24$. Testobservatoren blir $t = (128-115)/5{,}24 = 2{,}48$ med 75 frihetsgrader. Siden $2{,}48 > t_{0{,}025,75} = 1{,}99$ forkastes $H_0$ (p-verdi 0,015): dataene gir belegg for at forventet omsetning er høyere i Sentrum.

Gjennomregnet eksempel 2: to andeler

Skianlegget «Kvistfjell» tester om en rabattkampanje reduserer frafall blant sesongkortholdere. I kampanjegruppen fornyet ikke 66 av 550 ($\hat{p}_1 = 0{,}12$); i kontrollgruppen 96 av 600 ($\hat{p}_2 = 0{,}16$). Ensidig test: $H_0: p_1 \geq p_2$ mot $H_1: p_1 < p_2$. Samlet andel: $\hat{p} = 162/1150 = 0{,}141$. $SE = \sqrt{0{,}141\cdot0{,}859(1/550+1/600)} = 0{,}0205$, og $z = (0{,}12-0{,}16)/0{,}0205 = -1{,}95$. Ensidig p-verdi er $0{,}026 < 0{,}05$ — forkast $H_0$: kampanjen ser ut til å redusere frafallet. Merk at en tosidig test ville gitt $p = 0{,}051$ og ikke forkastet — valget mellom ensidig og tosidig må begrunnes i problemstillingen før analysen.

Slik testes temaet på MET4-eksamen

Dette er fagets mest frekvente regnetema: to-utvalgs t-test har dukket opp på nesten alle skoleeksamener, F-test for lik varians og to-andeler z-test svært ofte. I Del 1 kjører du var.test, t.test og prop.test i R på et utlevert datasett og tolker p-verdier og konfidensintervaller i kontekst. I Del 2 får du en oppsummeringstabell (gjennomsnitt, standardavvik, $n$ per gruppe) og skal for hånd: formulere hypoteser, velge og begrunne test, beregne observatoren, sammenligne med kritisk verdi fra vedlegget (typisk oppgis qt/qnorm/qf-verdier) og konkludere med egne ord i kontekst. Full uttelling krever alle fem stegene — en riktig t-verdi uten hypoteser og tolkning gir trekk.

Studieguide: Hypotesetesting og gruppesammenligning

Studieguide: Hypotesetesting og gruppesammenligning