Når trenger vi instrumentvariabler?

IV er nødvendig når forklaringsvariabelen $X$ er endogen — det vil si korrelert med feilleddet $u$. Endogenitet kan skyldes utelatte variabler, simultanitet eller målefeil. OLS gir da forventningsskjeve estimater.

IV-rammeverket

Et instrument $Z$ må oppfylle to betingelser:

Forutsetninger for et gyldig instrument:

1. Relevans: $\text{Cov}(Z_i, X_i) \neq 0$ — instrumentet må være korrelert med den endogene variabelen

2. Eksklusjonsrestriksjonen: $\text{Cov}(Z_i, u_i) = 0$ — instrumentet påvirker $Y$ kun gjennom $X$, ikke direkte eller gjennom andre kanaler

To-trinns minste kvadrater (2SLS)

2SLS gjennomføres i to steg:

Trinn 1 (førstesteg): Regresjon av $X$ på $Z$ (og eventuelle kontrollvariabler $W$):

$X_i = \pi_0 + \pi_1 Z_i + \pi_2 W_i + v_i$

Lagre predikerte verdier: $\hat{X}_i = \hat{\pi}_0 + \hat{\pi}_1 Z_i + \hat{\pi}_2 W_i$

Trinn 2 (andresteg): Regresjon av $Y$ på $\hat{X}$ (og $W$):

$Y_i = \beta_0 + \beta_1 \hat{X}_i + \beta_2 W_i + \varepsilon_i$

$\hat{\beta}_1^{2SLS}$ er IV-estimatoren for den kausale effekten av $X$ på $Y$.

Eksempel: Avkastning på utdanning

Problem: Utdanning ($X$) er endogen fordi evner (i $u$) påvirker både utdanning og lønn.

Instrument: Nærhet til høyskole ($Z$) — påvirker utdanningslengde (relevans) men ikke lønn direkte (eksklusjon).

Trinn 1: $\text{utdanning}_i = \pi_0 + \pi_1 \cdot \text{nærhet}_i + v_i$

Trinn 2: $\ln(\text{lønn}_i) = \beta_0 + \beta_1 \cdot \widehat{\text{utdanning}}_i + \varepsilon_i$

Den enkle IV-estimatoren (Wald-estimator)

Med ett instrument og én endogen variabel (uten kontrollvariabler):

$\hat{\beta}_1^{IV} = \frac{\text{Cov}(Z_i, Y_i)}{\text{Cov}(Z_i, X_i)} = \frac{\text{redusert form}}{\text{førstesteg}}$

Svake instrumenter

Dersom instrumentet bare er svakt korrelert med $X$, blir IV-estimatoren forventningsskjev (mot OLS) og har store standardfeil. Tommelregel: Førstesteg F-statistikk > 10 (Stock & Yogo).

Diagnostiske tester:

Svakt instrument-test: F-statistikk fra førstesteg-regresjonen. $F < 10$ indikerer svakt instrument.

Overidentifikasjonstest (Sargan/Hansen): Med flere instrumenter enn endogene variabler kan vi teste eksklusjonsrestriksjonen. $H_0$: instrumentene er gyldige.

Hausman-test: Tester om OLS og IV gir signifikant forskjellige estimater. Under $H_0$: OLS er konsistent (ingen endogenitet).

LATE — Local Average Treatment Effect

IV identifiserer ikke ATE generelt, men LATE — effekten for compliers, de individene som endrer sin behandlingsstatus på grunn av instrumentet. Denne tolkningen er viktig å forstå for å vurdere generaliserbarhet.

Studieguide: Instrumentvariabler