Dekomponering: trend, sesong og rest

Utgangspunktet for tidsserieanalyse i MET4 er den additive dekomponeringen $Y_t = T_t + S_t + R_t$: en glatt trend $T_t$, et gjentakende sesongmønster $S_t$ (som summerer seg til ca. 0 over en full syklus) og et uforutsigbart restledd $R_t$. I R gjøres dette med stl() eller decompose(), og plottet viser fire paneler: data, seasonal, trend og remainder. Prediksjon fra en dekomponering er å summere komponentprediksjonene: forleng trendlinjen, bruk sesongkomponenten for riktig måned/dag, og sett $\hat{R} \approx 0$ fordi resten er uforutsigbar med forventning null. Vokser sesongutslagene med nivået, dekomponerer du $\log Y_t$ i stedet – da tolkes sesongkomponenten som prosentvis avvik (en komponent på 0,05 betyr ca. 5 % over trenden, siden $e^{0{,}05} \approx 1{,}051$).

Eksempel 1 (dekomponeringsprediksjon): Månedsomsetningen til dagligvarekjeden Grønnhandel er stl-dekomponert. Trenden er nå 210 og stiger med 0,5 per måned, og sesongkomponenten for desember er $+18$. Prediksjon for desember om fem måneder: $\hat{T} = 210 + 5 \cdot 0{,}5 = 212{,}5$, og $\hat{Y} = 212{,}5 + 18 + 0 = 230{,}5$.

Stasjonaritet og ACF

En stasjonær serie har konstant forventning, konstant varians og autokorrelasjon som bare avhenger av avstanden mellom observasjonene. På MET4 vurderes dette fra plottet: trend, sesongmønster eller økende svingninger betyr ikke-stasjonær – formelle enhetsrot-tester er ikke pensum. En ikke-stasjonær serie kan likevel analyseres: dekomponer den, differensier den ($\Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1}$), eller modeller endringene i stedet for nivået.

Autokorrelasjonsfunksjonen (acf() i R) er verktøyet for å klassifisere stasjonære serier. Signifikansgrensene ligger på ca. $\pm 2/\sqrt{n}$. Mønstrene du skal kjenne igjen: AR gir gradvis avtakende ACF (for AR(1) er $\rho_k = \phi^k$), MA($q$) gir brått kutt etter lag $q$, hvit støy gir ingen signifikante stolper, og sesong gir topper ved sesonglengden (lag 12 og 24 for månedsdata, lag 7 og 14 for dagsdata).

AR, MA og ARIMA med prediksjon

AR(1) på middelform: $Y_t - \mu = \phi(Y_{t-1} - \mu) + \varepsilon_t$ med prediksjon $\hat{Y}_{T+h} = \mu + \phi^h(Y_T - \mu)$ – avviket fra snittet krymper med $\phi$ per steg, så prediksjonene konvergerer mot gjennomsnittet. MA(1): $Y_t = \mu + \varepsilon_t + \theta\varepsilon_{t-1}$ med $\hat{Y}_{T+1} = \mu + \theta\varepsilon_T$ og $\hat{Y}_{T+h} = \mu$ for $h \ge 2$. ARIMA($p,d,q$) betyr ARMA($p,q$) på en serie som er differensiert $d$ ganger. NB: R-utskriften fra Arima() rapporterer «mean» $= \mu$, ikke konstantleddet ($c = \mu(1-\phi)$), og signifikans vurderes med $|\text{koeffisient}|/\text{s.e.} > 2$.

Eksempel 2 (AR(1) fra R-utskrift): Arima(x, order=c(1,0,0)) gir ar1 $= 0{,}65$ (s.e. 0,08) og mean $= 40$. Siste observasjon er $Y_T = 46$. Ett steg frem: $\hat{Y}_{T+1} = 40 + 0{,}65(46-40) = 43{,}9$. To steg: $40 + 0{,}65^2 \cdot 6 = 42{,}54$. På lang sikt går prediksjonen mot $\mu = 40$. Koeffisienten er klart signifikant ($0{,}65/0{,}08 \approx 8{,}1 > 2$).

Eksponentiell glatting og modellvalg

Enkel eksponentiell glatting: $S_t = wY_t + (1-w)S_{t-1}$ med $S_1 = Y_1$ og flat prediksjon $\hat{Y}_{T+h} = S_T$. Stor $w$ reagerer raskt men glatter lite; liten $w$ omvendt. Eksempel: $w = 0{,}2$, $S_{t-1} = 100$, $Y_t = 110$ gir $S_t = 0{,}2 \cdot 110 + 0{,}8 \cdot 100 = 102$. Svakheten er trend: siden glattingen er et vektet snitt av historikken, henger prediksjonene systematisk etter en stigende serie. Modellvalg mellom ARIMA-kandidater gjøres med AIC: estimer alle på samme serie og velg lavest AIC – straffen for antall parametre hindrer overtilpasning. Etter tilpasning sjekker du residualenes ACF: alt innenfor $\pm 2/\sqrt{n}$ betyr at modellen har fanget strukturen.

Slik testes temaet på eksamen

I Del 1 (R) får du typisk en serie du skal plotte, dekomponere med stl, vurdere stasjonaritet fra plottet og kjøre acf()/Arima(). I Del 2 (regning) får du en ferdig R-utskrift: skriv opp modellen med estimerte koeffisienter, vurder signifikans mot s.e., prediker ett og to steg frem fra siste observasjoner/residualer, beregn glattede verdier for hånd, og vurder utsagn (klassikeren «en ikke-stasjonær serie kan ikke analyseres» er feil). Husk at prediksjon fra dekomponering = summér komponentene med $\hat{R} \approx 0$.

Studieguide: Tidsserieanalyse

Studieguide: Tidsserieanalyse