Tidsseriedata vs. tverrsnittsdata

Tidsseriedata observerer én (eller noen få) enheter over mange tidsperioder. Hovedutfordringen er at observasjonene typisk er avhengige over tid (autokorrelerte), noe som bryter med OLS-antagelsen om uavhengige observasjoner.

Stasjonaritet

En tidsserie $\{Y_t\}$ er svakt stasjonær dersom:

$E[Y_t] = \mu$ (konstant gjennomsnitt)
$\text{Var}(Y_t) = \sigma^2$ (konstant varians)
$\text{Cov}(Y_t, Y_{t-k}) = \gamma_k$ (autokovarians avhenger kun av lag $k$, ikke av $t$)

Autoregressive modeller (AR):

AR(1): $Y_t = \phi_0 + \phi_1 Y_{t-1} + u_t$

Stasjonær hvis $|\phi_1| < 1$. Gjennomsnitt: $\mu = \phi_0/(1-\phi_1)$

AR(p): $Y_t = \phi_0 + \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \cdots + \phi_p Y_{t-p} + u_t$

Random walk (ikke-stasjonær): $Y_t = Y_{t-1} + u_t$ ($\phi_1 = 1$, enhetsrot)

Enhetsrøtter og spuriøs regresjon

En tidsserie med enhetsrot ($\phi_1 = 1$) er ikke-stasjonær — den har ingen tendens til å vende tilbake til et gjennomsnitt. Regresjon mellom to uavhengige random walks kan gi høy $R^2$ og signifikante koeffisienter selv uten noen reell sammenheng. Dette kalles spuriøs regresjon.

Eksempel: Spuriøs regresjon

La $Y_t$ og $X_t$ være to uavhengige random walks. Regresjonen $Y_t = \beta_0 + \beta_1 X_t + u_t$ vil ofte gi signifikant $\hat{\beta}_1$ og høy $R^2$, selv om det ikke er noen sammenheng. Symptomet: $R^2$ er mye høyere enn Durbin-Watson-statistikken.

Dickey-Fuller-testen

Tester for enhetsrot i en tidsserie:

ADF-test (Augmented Dickey-Fuller):

$\Delta Y_t = \alpha + \gamma Y_{t-1} + \sum_{j=1}^{p} \delta_j \Delta Y_{t-j} + u_t$

$H_0$: $\gamma = 0$ (enhetsrot, ikke-stasjonær)

$H_1$: $\gamma < 0$ (stasjonær)

Bruk Dickey-Fuller kritiske verdier (mer negative enn standard $t$-verdier). Forkast $H_0$ dersom teststatistikken er mer negativ enn kritisk verdi.

HAC-standardfeil

Med autokorrelasjon i feilleddene er vanlige standardfeil feil. Bruk HAC (Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent) standardfeil, også kalt Newey-West standardfeil.

ADL- og VAR-modeller

ADL (Autoregressive Distributed Lag):

$Y_t = \beta_0 + \beta_1 Y_{t-1} + \delta_0 X_t + \delta_1 X_{t-1} + u_t$

Inkluderer laggede verdier av både $Y$ og $X$.

Granger-kausalitet: $X$ «Granger-forårsaker» $Y$ dersom laggede verdier av $X$ har prediktiv kraft for $Y$ gitt laggede verdier av $Y$. Test med F-test. NB: Granger-kausalitet er prediksjon, ikke ekte kausalitet.

Kointegrasjon

To ikke-stasjonære tidsserier er kointegrerte dersom en lineær kombinasjon av dem er stasjonær. Intuitvt: seriene beveger seg sammen på lang sikt. Testes med Engle-Granger-metoden (test residualene for enhetsrot).

Praktisk fremgangsmåte

Plot tidsserien og vurder stasjonaritet visuelt
Kjør ADF-test for enhetsrot
Hvis ikke-stasjonær: førstedifferenser ($\Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1}$) eller test for kointegrasjon
Estimer modellen med riktig antall lags
Bruk HAC-standardfeil
Sjekk residualer for autokorrelasjon (Durbin-Watson, Breusch-Godfrey)

Studieguide: Tidsserieanalyse

Studieguide: Tidsserieanalyse