Sentripetalakselerasjon og -kraft

Et legeme i jevn sirkelbevegelse har konstant fart, men hastighetsvektorens retning endres hele tiden. Denne retningsendringen er en akselerasjon rettet inn mot sentrum — sentripetalakselerasjonen.

Grunnformler for sirkelbevegelse:

\(a_c=\dfrac{v^2}{r}=\omega^2 r\) (mot sentrum)

\(F_c=ma_c=\dfrac{mv^2}{r}=m\omega^2 r\)

\(v=\omega r\), \(\quad T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{1}{f}\), \(\quad\omega=2\pi f\)

Sentripetalkraften er ikke en ny krafttype, men nettoresultatet av de reelle kreftene (strekk, normalkraft, gravitasjon, friksjon). Identifiser alltid HVILKEN fysisk kraft som leverer sentripetalkraften i hvert problem.

Konisk pendel og svingkarusell

Et lodd som svinger i horisontal sirkel mens snora danner vinkelen \(\theta\) med vertikalen. Snorstrekket \(T\) dekomponeres: vertikalt balanserer det tyngden, horisontalt leverer det sentripetalkraften.

Konisk pendel:

Vertikalt: \(T\cos\theta=mg\)

Horisontalt: \(T\sin\theta=\dfrac{mv^2}{r}=m\omega^2 r\)

Deler likningene: \(\tan\theta=\dfrac{v^2}{rg}=\dfrac{\omega^2 r}{g}\)

Rotasjonsradien: \(r=L\sin\theta\) (eller \(r=R_0+l\sin\theta\) for en karusell med rotornav).

Eksempel 1: Konisk pendel med \(L=1{,}2\) m og masse 0{,}50 kg. Snora danner 25° med vertikalen. Finn snorstrekk og omløpstid.

Strekk: \(T=\dfrac{mg}{\cos\theta}=\dfrac{0{,}50\cdot 9{,}81}{\cos 25^\circ}=\dfrac{4{,}905}{0{,}9063}=5{,}41\text{ N}\)

Radius: \(r=L\sin\theta=1{,}2\cdot\sin 25^\circ=0{,}507\text{ m}\)

Vinkelhastighet: \(\omega=\sqrt{\dfrac{g\tan\theta}{r}}=\sqrt{\dfrac{9{,}81\cdot 0{,}4663}{0{,}507}}=\sqrt{9{,}02}=3{,}00\text{ rad/s}\)

Omløpstid: \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{6{,}283}{3{,}00}=2{,}09\text{ s}\)

Vinkelkinematikk: integrasjon av ω(t)

Akkurat som \(v=dx/dt\) er \(\omega=d\theta/dt\) og \(\alpha=d\omega/dt\). Når vinkelhastigheten varierer med tiden, finner vi dreid vinkel ved integrasjon — dette gjelder generelt, også når \(\alpha\) ikke er konstant.

Vinkelkinematikk:

\(\alpha=\dfrac{d\omega}{dt}\), \(\qquad\theta=\theta_0+\displaystyle\int_0^t\omega(t')\,dt'\)

Ved KONSTANT \(\alpha\): \(\omega=\omega_0+\alpha t\), \(\theta=\theta_0+\omega_0 t+\tfrac{1}{2}\alpha t^2\), \(\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\Delta\theta\).

Eksempel 2: Et hjul har vinkelhastighet \(\omega(t)=3+2t\) (rad/s). Finn vinkelakselerasjonen og dreid vinkel fra \(t=0\) til \(t=4{,}0\) s.

Vinkelakselerasjon: \(\alpha=\dfrac{d\omega}{dt}=\dfrac{d}{dt}(3+2t)=2\text{ rad/s}^2\) (konstant)

Dreid vinkel: \(\theta=\displaystyle\int_0^4(3+2t)\,dt=\left[3t+t^2\right]_0^4\)

\(\theta=(3\cdot 4+4^2)-0=12+16=28\text{ rad}\)

Gravitasjon og sirkelbaner — Keplers 3. lov

For en planet/satellitt i sirkelbane leverer gravitasjonen sentripetalkraften. Setter vi de to uttrykkene like, faller objektets egen masse bort.

Sirkelbane under gravitasjon:

\(\dfrac{GMm}{r^2}=\dfrac{mv^2}{r}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}\)

Keplers 3. lov: \(T^2=\dfrac{4\pi^2}{GM}r^3\), dvs. \(T\propto r^{3/2}\)

\(G=6{,}674\cdot10^{-11}\text{ N·m}^2/\text{kg}^2\)

Eksempel 3: En planet kretser i sirkelbane med radius \(r=1{,}5\cdot10^{11}\) m rundt en stjerne med masse \(M=2{,}0\cdot10^{30}\) kg. Finn banefart og omløpstid.

Banefart: \(v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}=\sqrt{\dfrac{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot 2{,}0\cdot10^{30}}{1{,}5\cdot10^{11}}}\)

\(v=\sqrt{8{,}90\cdot10^{8}}=2{,}98\cdot10^{4}\text{ m/s}\)

Omløpstid: \(T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\cdot 1{,}5\cdot10^{11}}{2{,}98\cdot10^{4}}=3{,}16\cdot10^{7}\text{ s}\approx 366\text{ dager}\)

Tangentiell vs sentripetal akselerasjon

Når farten i tillegg endrer størrelse, får legemet to akselerasjonskomponenter som står vinkelrett på hverandre.

To akselerasjonskomponenter:

Sentripetal (mot sentrum): \(a_c=\dfrac{v^2}{r}=\omega^2 r\)

Tangentiell (langs banen): \(a_t=\dfrac{dv}{dt}=\alpha r\)

Total: \(a=\sqrt{a_c^2+a_t^2}\), retning \(\tan\phi=\dfrac{a_t}{a_c}\) fra radiusretningen.

Eksempel 4: En bil kjører i en sving med radius 50 m ved farten 20 m/s, og øker farten med tangentiell akselerasjon 3{,}0 m/s². Finn totalakselerasjonen.

Sentripetal: \(a_c=\dfrac{v^2}{r}=\dfrac{20^2}{50}=\dfrac{400}{50}=8{,}0\text{ m/s}^2\)

Total: \(a=\sqrt{a_c^2+a_t^2}=\sqrt{8{,}0^2+3{,}0^2}=\sqrt{73}=8{,}54\text{ m/s}^2\)

Retning: \(\tan\phi=\dfrac{3{,}0}{8{,}0}=0{,}375\Rightarrow\phi=20{,}6^\circ\) fra radiusretningen

Studieguide: Sirkelbevegelse og gravitasjon

Studieguide: Sirkelbevegelse og gravitasjon