1. Varmeledning og Fouriers lov

Varmeledning er energitransport gjennom et materiale uten massetransport. I stasjonær tilstand (tidsuavhengig temperaturprofil) gir Fouriers lov varmeeffekten gjennom et sjikt:

Fouriers lov: P = κAΔT/L

κ = varmeledningsevne [W/(m·K)], A = tverrsnittsareal [m²], ΔT = temperaturforskjell [K], L = tykkelse [m]. P får enhet W.

Varmen strømmer alltid fra høy mot lav temperatur. Effekten øker med større areal og temperaturforskjell, og avtar med større tykkelse.

2. Termisk varmemotstand og serielle vegglag

Det er ofte praktisk å innføre den termiske varmemotstanden, helt analogt med elektrisk motstand:

Varmemotstand: R = L/(κA), enhet K/W.

Da blir P = ΔT/R (analog til Ohms lov ΔT ↔ U, P ↔ I, R ↔ R).

Sjikt i serie: R_tot = R₁ + R₂ + ... Samme effekt P går gjennom hvert sjikt, og temperaturfallene adderes.

Temperaturfallet over hvert sjikt er proporsjonalt med sjiktets motstand: ΔT_i = P·R_i. Sjiktet med størst R (typisk isolasjonen) bærer mesteparten av temperaturfallet.

Eksempel 1 – Sammensatt yttervegg: En vegg består av murstein (L₁ = 0{,}10 m, κ₁ = 0{,}70 W/(m·K)) innerst og isolasjon (L₂ = 0{,}050 m, κ₂ = 0{,}040 W/(m·K)), areal A = 1{,}0 m². Inne 20 °C, ute −10 °C. Finn varmeeffekt og grenseflatetemperatur.

R₁ = L₁/(κ₁A) = 0{,}10/(0{,}70·1{,}0) = 0{,}143 K/W

R₂ = L₂/(κ₂A) = 0{,}050/(0{,}040·1{,}0) = 1{,}25 K/W

R_tot = R₁ + R₂ = 0{,}143 + 1{,}25 = 1{,}39 K/W

P = ΔT/R_tot = (20 − (−10))/1{,}39 = 30/1{,}39 = 21{,}5 W

ΔT₁ = P·R₁ = 21{,}5·0{,}143 = 3{,}1 K

T_grenseflate = 20 − 3{,}1 = 16{,}9 °C

Nesten hele temperaturfallet (90 %) skjer over isolasjonen, som forventet siden R₂ ≫ R₁.

3. Total varmemengde over tid

I stasjonær tilstand er P konstant, så total tilført/avgitt varme over tiden t er ganske enkelt:

Varmemengde: Q = P·t (når P er konstant).

Eksempel: veggen over taper P = 21{,}5 W. Over ett døgn: Q = 21{,}5·(24·3600) = 21{,}5·86400 = 1{,}86·10⁶ J = 1{,}86 MJ.

4. Termisk stråling – Stefan-Boltzmanns lov

Alle legemer over 0 K stråler elektromagnetisk energi. For et ideelt svart legeme (perfekt absorbator og stråler) gjelder:

Stefan-Boltzmann: P = σAT⁴, σ = 5{,}67·10⁻⁸ W/(m²·K⁴).

For en grå flate med emissivitet ε ∈ [0,1]: P = εσAT⁴. Netto utveksling mot omgivelser på T_omg: P = εσA(T⁴ − T_omg⁴).

Den sterke T⁴-avhengigheten gir enkle forhold uten å regne ut σ eksplisitt:

Forhold: P₂/P₁ = (T₂/T₁)⁴ (samme areal og emissivitet).

Dobling av T ⟹ 16× effekt. Dobling av A ⟹ 2× effekt.

Eksempel 2 – Svart kule: En svart kule med radius r = 0{,}10 m holder T = 1000 K. Finn strålt effekt, og effekten hvis temperaturen senkes til 500 K.

A = 4πr² = 4π(0{,}10)² = 0{,}1257 m²

P = σAT⁴ = 5{,}67·10⁻⁸·0{,}1257·(1000)⁴

P = 5{,}67·10⁻⁸·0{,}1257·1{,}00·10¹² = 7{,}1·10³ W

Ved 500 K: P′/P = (500/1000)⁴ = 1/16

P′ = 7{,}1·10³/16 = 4{,}5·10² W

5. Svartlegeme-platekjede med lik netto varmestrøm

I en rekke parallelle svarte plater der bare ytterplatenes temperaturer er fastlagt, krever stasjonær tilstand at samme netto strålingsstrøm passerer hvert mellomrom:

σ(T_i⁴ − T_{i+1}⁴) = konstant for alle nabopar.

Konsekvens: T⁴-verdiene fordeler seg lineært fra ytterplate til ytterplate. For tre plater: T₂⁴ = (T₁⁴ + T₃⁴)/2.

Eksempel 3 – Tre svarte plater: Ytterplatene holdes på T₁ = 400 K og T₃ = 300 K. Finn midtplatens temperatur T₂ og netto fluks mellom platene.

T₂⁴ = (T₁⁴ + T₃⁴)/2 = (2{,}56·10¹⁰ + 8{,}10·10⁹)/2

T₂⁴ = 1{,}685·10¹⁰ K⁴

T₂ = (1{,}685·10¹⁰)^{1/4} = 360 K

q = σ(T₁⁴ − T₂⁴) = 5{,}67·10⁻⁸(2{,}56·10¹⁰ − 1{,}685·10¹⁰)

q = 5{,}67·10⁻⁸·8{,}75·10⁹ = 496 W/m²

Samme fluks 496 W/m² gjelder også mellom plate 2 og 3 – det bekrefter stasjonær tilstand.

6. Wiens forskyvningslov og numerisk utledning

Strålingsspekteret til et svart legeme (Plancks lov) har en topp ved en bestemt bølgelengde som flyttes mot kortere bølgelengder ved høyere temperatur:

Wiens lov: λ_maks·T = b, b ≈ 2{,}898·10⁻³ m·K.

Konstanten b er ikke vilkårlig, men følger av å maksimere Plancks fordeling. Setter man den deriverte lik null, får man transcendentligningen x = 5(1−e⁻ˣ) der x = hc/(λ_maks·k·T). Denne løses ved fikspunktiterasjon:

Eksempel 4 – Fikspunktiterasjon for Wiens konstant: Løs x = 5(1−e⁻ˣ) med startverdi x₀ = 5{,}0.

x₁ = 5(1 − e⁻⁵·⁰) = 5(1 − 0{,}006738) = 4{,}9663

x₂ = 5(1 − e⁻⁴·⁹⁶⁶³) = 4{,}96516

x₃ = 5(1 − e⁻⁴·⁹⁶⁵¹⁶) = 4{,}96512

Konvergerer mot x ≈ 4{,}965

b = hc/(k·x) = (6{,}626·10⁻³⁴·3{,}00·10⁸)/(1{,}381·10⁻²³·4{,}965) = 2{,}90·10⁻³ m·K

Anvendelse: Solen (T ≈ 5780 K) har λ_maks = b/T = 2{,}898·10⁻³/5780 = 501 nm (synlig grønt), mens et menneske (310 K) topper ved 9{,}35 μm (infrarødt).

Studieguide: Varmeledning og termisk stråling

Studieguide: Varmeledning og termisk stråling