Varmepumpe og kjøleskap — samme maskin, ulikt formål

En varmepumpe og et kjøleskap er begge reverserte varmemaskiner. Med tilført arbeid W flytter de varme Q_C fra et kaldt reservoar (T_C) og avgir varme Q_H til et varmt reservoar (T_H). Forskjellen ligger kun i hva vi er ute etter: kjøleskapet skal fjerne Q_C fra det kalde rommet, mens varmepumpen skal levere Q_H til det varme rommet.

Over én hel syklus er arbeidsmediet tilbake i samme tilstand, så ΔU = 0. Førstelovens energibevaring gir da den helt sentrale relasjonen:

Energibevaring og COP-definisjoner

\( Q_H = Q_C + W \)

Varmepumpe: \( \mathrm{COP_{VP}} = \dfrac{Q_H}{W} \)

Kjøleskap: \( \mathrm{COP_{kjøl}} = \dfrac{Q_C}{W} \)

Sammenheng: \( \mathrm{COP_{VP}} = \mathrm{COP_{kjøl}} + 1 \)

Sammenhengen følger direkte: deler vi Q_H = Q_C + W på W får vi Q_H/W = Q_C/W + 1. COP for en varmepumpe er derfor alltid større enn 1 — den leverer mer varme enn arbeidet alene, fordi den i tillegg flytter Q_C «gratis» fra utelufta.

Carnot-grensene

Ingen maskin kan slå den reversible Carnot-maskinen. For en reversibel syklus gjelder \( |Q_H|/|Q_C| = T_H/T_C \) (temperaturer i kelvin), og dette gir de maksimale effektfaktorene:

Carnot-grenser (maksimal COP)

Varmepumpe: \( \mathrm{COP_{VP,Carnot}} = \dfrac{T_H}{T_H - T_C} \)

Kjøleskap: \( \mathrm{COP_{kjøl,Carnot}} = \dfrac{T_C}{T_H - T_C} \)

Merk: jo mindre temperaturforskjellen \( T_H - T_C \) er, jo høyere COP. Varmepumper er derfor mest effektive om høsten/våren, ikke i streng kulde.

Fortegnstabeller i Carnot-delprosessene

En reversert Carnot-syklus består av fire delprosesser. Fortegnene (sett fra arbeidsmediet) er sentrale på eksamen:

Reversert Carnot-syklus (kjøleskap/varmepumpe)

1) Isoterm ekspansjon ved T_C: Q > 0 (varme inn fra kaldt), ΔU = 0.

2) Adiabatisk kompresjon T_C→T_H: Q = 0, ΔU > 0.

3) Isoterm kompresjon ved T_H: Q < 0 (varme ut til varmt), ΔU = 0.

4) Adiabatisk ekspansjon T_H→T_C: Q = 0, ΔU < 0.

Over hele syklusen: ΔU = 0 og netto arbeid TILFØRES (W på systemet > 0).

Husk: isoterm ⇒ ΔU = 0 (ideell gass, T konstant), adiabatisk ⇒ Q = 0.

Eksperimentell COP

I laben drives ofte en varmepumpe/kjøleskap elektrisk, og varmen bestemmes via vannets temperaturendring. Da brukes \( Q = mc\Delta T \) for varmen og \( W = P\cdot t \) for det elektriske arbeidet.

COP fra (S,T)-diagram

I et (S,T)-diagram er Carnot-syklusen et rektangel: isoterme prosesser er vannrette (konstant T), adiabatiske er loddrette (konstant S). Arealet under en kurve er varmen, \( Q = \int T\,dS \), og det innesluttede arealet \( \Delta T \cdot \Delta S \) er nettoarbeidet.

Eksempel 1 — Carnot-varmepumpe mellom 4 °C og 21 °C

En varmepumpe henter varme fra uteluft på 4 °C og leverer til et hus på 21 °C. Finn Carnot-COP for varmepumpedrift.

Omregn til kelvin: \( T_C = 277\ \mathrm{K} \), \( T_H = 294\ \mathrm{K} \)

\( \mathrm{COP_{VP,Carnot}} = \dfrac{T_H}{T_H - T_C} \)

\( = \dfrac{294}{294 - 277} = \dfrac{294}{17} \)

\( = 17{,}3 \)

En reell pumpe oppnår typisk 40–60 % av dette på grunn av irreversibiliteter.

Eksempel 2 — Eksperimentell COP fra vannoppvarming

En varmepumpe varmer 2,0 kg vann (c = 4186 J/(kg·K)) med 10 K og bruker 20,0 kJ elektrisk arbeid. Finn COP.

Levert varme: \( Q_H = mc\Delta T = 2{,}0 \cdot 4186 \cdot 10 \)

\( = 83\,720\ \mathrm{J} \)

\( \mathrm{COP} = \dfrac{Q_H}{W} = \dfrac{83\,720}{20\,000} \)

\( = 4{,}19 \)

Eksempel 3 — COP fra (S,T)-diagram

En Carnot-syklus tegnes som et rektangel med T_H = 350 K, T_C = 290 K og entropispenn ΔS = 2,0 J/K. Brukt som varmepumpe: finn Q_H, W og COP.

\( Q_H = T_H \cdot \Delta S = 350 \cdot 2{,}0 = 700\ \mathrm{J} \)

\( Q_C = T_C \cdot \Delta S = 290 \cdot 2{,}0 = 580\ \mathrm{J} \)

\( W = Q_H - Q_C = 700 - 580 = 120\ \mathrm{J} \)

\( \mathrm{COP_{VP}} = \dfrac{Q_H}{W} = \dfrac{700}{120} = 5{,}83 \)

Kontroll: \( \dfrac{T_H}{T_H - T_C} = \dfrac{350}{60} = 5{,}83 \) ✓

Studieguide: Varmepumpe, kjøleskap og Carnot