Dobbeltintegralet og itererte integraler

Et dobbeltintegral \(\iint_D f(x,y)\, dA\) summerer funksjonsverdier over et område \(D\) i planet. For \(f \ge 0\) er resultatet volumet under flaten \(z = f(x,y)\) over \(D\). Når \(f = 1\) får man arealet av \(D\). Vi beregner det ved å integrere én variabel av gangen (itererte integraler), og Fubinis teorem garanterer at rekkefølgen ikke endrer verdien for kontinuerlige funksjoner.

Itererte integraler over enkle områder

Vertikalt enkelt (y-enkelt): \(a \le x \le b,\ g_1(x) \le y \le g_2(x)\)
\(\displaystyle \iint_D f\, dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\, dy\, dx\)

Horisontalt enkelt (x-enkelt): \(c \le y \le d,\ h_1(y) \le x \le h_2(y)\)
\(\displaystyle \iint_D f\, dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\, dx\, dy\)

De ytre grensene må alltid være konstanter. De indre kan avhenge av den ytre variabelen.

Skissere integrasjonsområdet

Før du regner — tegn alltid området. Les av de indre grensene som kurver og de ytre som rette linjer. En god skisse er forutsetningen for å kunne bytte rekkefølge eller velge polarkoordinater.

Bytte av integrasjonsrekkefølge

Mange eksamensoppgaver har et indre integral som ikke har elementær antiderivert, for eksempel \(e^{y^2}\), \(\cos(x^2)\) eller \(\frac{\sin x}{x}\). Da skisserer du området, beskriver det på nytt med motsatt rekkefølge, og det nye indre integralet blir typisk løsbart fordi en faktor \(x\) eller \(y\) dukker opp.

Eksempel 1: Beregn \(\displaystyle \int_0^1 \int_x^1 e^{y^2}\, dy\, dx\).

Området: \(0 \le x \le 1,\ x \le y \le 1\) — trekanten over linjen \(y = x\).

Beskriv med y ytterst: for fast \(y\) går \(x\) fra 0 til \(y\), og \(y\) fra 0 til 1.

\(\displaystyle \int_0^1 \int_0^y e^{y^2}\, dx\, dy = \int_0^1 e^{y^2}\,[x]_0^y\, dy = \int_0^1 y\, e^{y^2}\, dy\)

Substituer \(u = y^2,\ du = 2y\, dy\): \(\displaystyle \int_0^1 y e^{y^2} dy = \left[\tfrac{1}{2}e^{y^2}\right]_0^1 = \tfrac{1}{2}(e - 1)\)

Svar: \(\dfrac{e - 1}{2}\)

Polarkoordinater

Når området er en disk, sektor eller ring, eller integranden inneholder \(x^2 + y^2\), lønner det seg å bytte til polarkoordinater \(x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta\). Da blir \(x^2 + y^2 = r^2\), og — viktigst — arealelementet blir \(dA = r\, dr\, d\theta\).

Polarkoordinater

\(x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad x^2 + y^2 = r^2\)

\(\displaystyle \iint_D f(x,y)\, dA = \int_\alpha^\beta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\, dr\, d\theta\)

Glem aldri den ekstra faktoren \(r\).

Eksempel 2: Beregn volumet under \(z = 4 - x^2 - y^2\) over disken \(x^2 + y^2 \le 4\).

Disken er \(0 \le r \le 2,\ 0 \le \theta \le 2\pi\), og \(z = 4 - r^2\).

\(\displaystyle V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4 - r^2)\, r\, dr\, d\theta\)

Indre: \(\displaystyle \int_0^2 (4r - r^3)\, dr = \left[2r^2 - \tfrac{r^4}{4}\right]_0^2 = 8 - 4 = 4\)

Ytre: \(\displaystyle \int_0^{2\pi} 4\, d\theta = 4 \cdot 2\pi = 8\pi\)

Svar: \(V = 8\pi\)

Generelt variabelskifte og Jacobi-determinanten

For mer generelle transformasjoner \(x = x(u,v),\ y = y(u,v)\) brukes Jacobi-determinanten til å gjøre om arealelementet. Dette er kraftig for å rette ut «skjeve» områder til rektangler eller for å håndtere ellipser.

Variabelskifteformelen

\(\displaystyle \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix} = x_u y_v - x_v y_u\)

\(\displaystyle \iint_R f(x,y)\, dA = \iint_S f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| du\, dv\)

Bruk absoluttverdien — arealet må være positivt.

Eksempel 3: Finn arealet av ellipsen \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1\) med skalerte polarkoordinater.

Sett \(x = a r\cos\theta,\ y = b r\sin\theta\). Da blir ellipselikningen \(r^2 \le 1\), altså \(0 \le r \le 1\).

Jacobi: \(\displaystyle \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = \begin{vmatrix} a\cos\theta & -ar\sin\theta \\ b\sin\theta & br\cos\theta \end{vmatrix} = ab\,r(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = ab\,r\)

\(\displaystyle A = \int_0^{2\pi}\int_0^1 ab\,r\, dr\, d\theta = ab \int_0^{2\pi} \left[\tfrac{r^2}{2}\right]_0^1 d\theta = ab \cdot \tfrac{1}{2}\cdot 2\pi\)

Svar: \(A = \pi a b\)

Areal, volum og masse

De tre standardanvendelsene: areal \(=\iint_D 1\, dA\); volum \(=\iint_D f\, dA\) med \(f \ge 0\) som høyden; masse \(=\iint_D \delta(x,y)\, dA\) der \(\delta\) er flatetetthet. Mellom to flater \(z = f_\text{topp}\) og \(z = f_\text{bunn}\) blir volumet \(\iint_D (f_\text{topp} - f_\text{bunn})\, dA\).

Studieguide: Dobbeltintegraler og bytte av integrasjonsrekkefølge