Når bruker man hvilket koordinatsystem?

Valget av koordinater bestemmes av legemets geometri. Mål: enkle, helst konstante, integrasjonsgrenser.

Sylinderkoordinater \((r,\theta,z)\): brukes ved rotasjonssymmetri om z-aksen — sylindere (\(r=\)konst), paraboloider (\(z=r^2\)), kjegler (\(z=r\)) og plane lokk (\(z=\)konst).

\(x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad x^2+y^2=r^2\)

\(\boxed{dV=r\,dz\,dr\,d\theta}\)

Kulekoordinater \((\rho,\varphi,\theta)\) (NTNU-konvensjon): brukes ved kuler (\(\rho=\)konst) og kjegler (\(\varphi=\)konst) sentrert i origo, og når integranden avhenger av \(\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\).

\(x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi\)

\(x^2+y^2+z^2=\rho^2,\qquad x^2+y^2=\rho^2\sin^2\varphi\)

\(\boxed{dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta}\)

Her er \(\varphi\) polvinkelen (fra positiv z-akse, \(0\le\varphi\le\pi\)) og \(\theta\) azimutvinkelen (\(0\le\theta\le2\pi\)).

Oppsett av grenser og rekkefølge

Strategien er alltid: 1) skisser/forstå området \(T\), 2) finn skjæringskurver mellom flatene, 3) sett opp grenser innenfra og ut. I sylinderkoordinater er det ofte naturlig å integrere \(z\) først (mellom nedre og øvre flate), deretter \(r\) og \(\theta\) over skyggen i xy-planet. I kulekoordinater integreres typisk \(\rho\) først.

Faktorisering: Hvis integranden er et produkt \(g(\rho)h(\varphi)k(\theta)\) (eller tilsvarende i sylinder) OG alle grenser er konstante, kan trippelintegralet skrives som produkt av tre uavhengige 1D-integraler. Husk å ta med \(dV\)-faktoren.

Volum, masse og tyngdepunkt

Volum: \(V=\iiint_T dV\)

Masse: \(m=\iiint_T \delta(x,y,z)\,dV\)

Tyngdepunkt: \(\bar x=\frac1m\iiint_T x\,\delta\,dV,\ \bar y=\frac1m\iiint_T y\,\delta\,dV,\ \bar z=\frac1m\iiint_T z\,\delta\,dV\)

For homogent legeme (\(\delta\) konstant) forkortes \(\delta\): \(\bar z=\frac1V\iiint_T z\,dV\). Ved rotasjonssymmetri om z-aksen er \(\bar x=\bar y=0\).

Eksempel 1: Finn volumet av legemet over paraboloiden \(z=x^2+y^2\) og under planet \(z=4\).

Sylinderkoordinater: paraboloiden blir \(z=r^2\), planet \(z=4\).

Skjæring: \(r^2=4\Rightarrow r=2\). For hver \(r\): \(r^2\le z\le 4\).

\(V=\int_0^{2\pi}\!\int_0^{2}\!\int_{r^2}^{4} r\,dz\,dr\,d\theta\)

Indre: \(\int_{r^2}^{4} r\,dz=r(4-r^2)=4r-r^3\)

\(\int_0^2(4r-r^3)\,dr=[2r^2-\tfrac{r^4}{4}]_0^2=8-4=4\)

\(V=\int_0^{2\pi}4\,d\theta=8\pi\)

Eksempel 2: Finn z-koordinaten til tyngdepunktet for en homogen halvkule med radius \(a\), med flat side i xy-planet (\(z\ge0\)).

Kulekoordinater: \(0\le\rho\le a,\ 0\le\varphi\le\pi/2,\ 0\le\theta\le2\pi\), og \(z=\rho\cos\varphi\).

Volum: \(V=\tfrac12\cdot\tfrac43\pi a^3=\tfrac23\pi a^3\). Ved symmetri: \(\bar x=\bar y=0\).

\(\iiint z\,dV=\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/2}\!\int_0^a(\rho\cos\varphi)\,\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\)

Faktoriser: \(\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi,\quad \int_0^a\rho^3 d\rho=\tfrac{a^4}{4}\)

\(\int_0^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi=[\tfrac{\sin^2\varphi}{2}]_0^{\pi/2}=\tfrac12\)

\(\iiint z\,dV=2\pi\cdot\tfrac12\cdot\tfrac{a^4}{4}=\tfrac{\pi a^4}{4}\)

\(\bar z=\dfrac{\iiint z\,dV}{V}=\dfrac{\pi a^4/4}{2\pi a^3/3}=\dfrac{3a}{8}\)

Eksempel 3 ("iskremen"): Finn volumet av legemet som ligger over kjeglen \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) og inne i kula \(x^2+y^2+z^2=1\).

Kjeglen \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) gir \(\tan\varphi=1\Rightarrow\varphi=\pi/4\); kula gir \(\rho=1\).

Grenser: \(0\le\rho\le1,\ 0\le\varphi\le\pi/4,\ 0\le\theta\le2\pi\).

\(V=\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/4}\!\int_0^{1}\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\)

\(\int_0^1\rho^2 d\rho=\tfrac13,\quad \int_0^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi=[-\cos\varphi]_0^{\pi/4}=1-\tfrac{\sqrt2}{2}\)

\(V=2\pi\cdot\tfrac13\cdot\left(1-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)=\dfrac{\pi(2-\sqrt2)}{3}\approx0,613\)

Studieguide: Trippelintegraler i sylinder- og kulekoordinater

Studieguide: Trippelintegraler i sylinder- og kulekoordinater