Hva er egenverdier og egenvektorer?

En vektor $\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$ er en egenvektor til $A$ hvis $A$ bare skalerer den: $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$. Tallet $\lambda$ er den tilhørende egenverdien. Geometrisk peker $A\mathbf{v}$ i samme (eller motsatte) retning som $\mathbf{v}$.

Grunnregel — karakteristisk likning: $\lambda$ er egenverdi til $A$ nettopp når $A-\lambda I$ er singulær, altså når $$\det(A-\lambda I)=0.$$ Egenvektorene for $\lambda$ er de ikke-trivielle løsningene av $(A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}$.

Egenrom og multiplisitet

Egenrommet er $E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$ — et underrom som inneholder alle egenvektorer for $\lambda$ pluss $\mathbf{0}$. Algebraisk multiplisitet $a_\lambda$ er multiplisiteten av $\lambda$ som rot i $\det(A-\lambda I)$. Geometrisk multiplisitet $g_\lambda=\dim E_\lambda=n-\operatorname{rang}(A-\lambda I)$. Det gjelder alltid $1\le g_\lambda\le a_\lambda$. Når $g_\lambda=a_\lambda$ for alle egenverdier, er $A$ diagonaliserbar; ellers kalles den defekt.

Eksempel 1 — egenverdier og egenvektorer for $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$:

$\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^2-1=\lambda^2-4\lambda+3=(\lambda-3)(\lambda-1)$. Egenverdier $\lambda=3,\,1$.

$\lambda=3$: $A-3I=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}\Rightarrow v_1=v_2$, egenvektor $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$.

$\lambda=1$: $A-I=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\Rightarrow v_2=-v_1$, egenvektor $\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$. To distinkte egenverdier $\Rightarrow$ diagonaliserbar.

Eksempel 2 — defekt matrise $A=\begin{pmatrix}5&-1\\1&3\end{pmatrix}$:

$\det(A-\lambda I)=(5-\lambda)(3-\lambda)+1=\lambda^2-8\lambda+16=(\lambda-4)^2$. Eneste egenverdi $\lambda=4$ med $a_4=2$.

$A-4I=\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}$ har rang $1$, så $g_4=2-1=1$. Siden $g_4ikke diagonaliserbar.

Komplekse egenverdier

For en reell matrise har det karakteristiske polynomet reelle koeffisienter, så komplekse røtter opptrer i konjugerte par $a\pm bi$. Polarform: $\lambda=re^{i\theta}$ med $r=|\lambda|=\sqrt{a^2+b^2}$ og $\theta=\arg\lambda$ (pass på kvadrant). En kompleks egenverdi $re^{i\theta}$ tolkes geometrisk som rotasjon med vinkel $\theta$ kombinert med skalering med faktor $r$.

Eksempel 3 — komplekse egenverdier for $A=\begin{pmatrix}3&-2\\4&-1\end{pmatrix}$:

$\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)(-1-\lambda)+8=\lambda^2-2\lambda+5$. abc-formel: $\lambda=\frac{2\pm\sqrt{4-20}}{2}=1\pm 2i$. Modulus $r=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$, så $\lambda=\sqrt{5}\,e^{\pm i\theta}$ med $\theta=\arctan(2)\approx 1{,}107$ rad.

Nyttige sammenhenger

For en $2\times2$-matrise: $\lambda_1+\lambda_2=\operatorname{tr}(A)$ og $\lambda_1\lambda_2=\det(A)$, så $\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)=0$. Egenverdiene til en triangulær matrise er diagonalelementene. $\lambda=0$ er egenverdi nettopp når $\det(A)=0$. Hvis $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$, er $\lambda^k$ egenverdi til $A^k$ og $1/\lambda$ til $A^{-1}$ (samme egenvektor).

Studieguide: Egenverdier og egenvektorer

Studieguide: Egenverdier og egenvektorer