Fra likningssystem til matrise

Et lineært likningssystem med $m$ likninger og $n$ ukjente skrives kompakt som $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$, der $A$ er koeffisientmatrisen. For å løse det danner vi den utvidede matrisen $[A\mid\mathbf{b}]$ og bruker elementære radoperasjoner, som bevarer løsningsmengden: (1) bytte to rader, (2) gange en rad med $c\neq0$, (3) legge et multiplum av en rad til en annen.

Grunnregel — trappeform og pivoter: En matrise er på trappeform når nullrader ligger nederst og hver ledende oppføring (pivot) står strengt lenger til høyre enn pivoten i raden over. Redusert trappeform (RREF) krever i tillegg at hver pivot er $1$ og er det eneste ikke-null-tallet i sin kolonne. RREF er entydig. Antall pivoter er matrisens rang.

Konsistens og antall løsninger

Etter radreduksjon avgjøres alt av pivotmønsteret i $[A\mid\mathbf{b}]$:

• Inkonsistent (ingen løsning): det finnes en rad $[\,0\;\cdots\;0\mid b\,]$ med $b\neq0$ (dvs. høyrekolonnen er en pivotkolonne).
• Entydig løsning: konsistent og ingen frie variabler (alle variabler er basisvariabler, rang $=n$).
• Uendelig mange løsninger: konsistent med minst én fri variabel (rang $

Antall frie variabler $=n-\text{rang}(A)$. Et lineært system har aldri et endelig antall løsninger større enn 1.

Eksempel 1 — entydig løsning ved Gauss-Jordan. Løs $\begin{cases}x+y+z=6\\2x+5y+2z=18\\x+y+2z=8\end{cases}$.
Utvidet matrise: $\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&5&2&18\\1&1&2&8\end{array}\right]$. $R_2\to R_2-2R_1$ gir $(0,3,0\mid6)$; $R_3\to R_3-R_1$ gir $(0,0,1\mid2)$. Fra rad 3: $z=2$. $R_2\to\tfrac13 R_2$: $y=2$. Rad 1: $x+2+2=6\Rightarrow x=2$. Tre pivoter, ingen frie variabler $\Rightarrow$ entydig løsning $(x,y,z)=(2,2,2)$.

Eksempel 2 — uendelig mange løsninger og parametrisk form. Den utvidede matrisen reduseres til RREF $\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&-2&3\\0&1&4&1\\0&0&0&0\end{array}\right]$ for $x_1,x_2,x_3$. Kolonne 3 er ikke-pivot, så $x_3=t$ er fri. Rad 1: $x_1-2x_3=3\Rightarrow x_1=3+2t$. Rad 2: $x_2+4x_3=1\Rightarrow x_2=1-4t$. Parametrisk vektorform: $$\mathbf{x}=\begin{bmatrix}3\\1\\0\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}2\\-4\\1\end{bmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.$$ Dette er en linje i $\mathbb{R}^3$ gjennom punktet $(3,1,0)$ med retningsvektor $(2,-4,1)$.

Homogene systemer

Et homogent system $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ er alltid konsistent, fordi $\mathbf{x}=\mathbf{0}$ (den trivielle løsningen) alltid passer. Det har ikke-trivielle løsninger hvis og bare hvis det finnes minst én fri variabel, dvs. $\text{rang}(A)m$ (flere ukjente enn likninger), garanteres ikke-trivielle løsninger. Løsningsmengden $\text{Nul}\,A$ er et underrom av $\mathbb{R}^n$ med dimensjon $n-\text{rang}(A)$.

Eksempel 3 — homogen løsning. $\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=0\\2x_2+2x_3=0\end{cases}$. Fra rad 2: $x_2=-x_3$. Rad 1: $x_1=-2x_2-3x_3=2x_3-3x_3=-x_3$. Med $x_3=t$: $\mathbf{x}=t(-1,-1,1)^T$. Nullrommet er en linje gjennom origo.

Struktur av løsningsmengden

Hvis $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ er konsistent med partikulær løsning $\mathbf{p}$, er den generelle løsningen $$\mathbf{x}=\mathbf{p}+\mathbf{x}_h,$$ der $\mathbf{x}_h$ gjennomløper alle løsninger av $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$. Den inhomogene løsningsmengden er altså en parallellforskyvning av nullrommet — et affint underrom, ikke et underrom (med mindre $\mathbf{b}=\mathbf{0}$).

Studieguide: Lineære likningssystemer

Studieguide: Lineære likningssystemer