Cauchy-Riemann-ligningene og analytisitet

En kompleks funksjon \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) er analytisk (holomorf) i et område dersom den er kompleks deriverbar i et åpent omegn om hvert punkt. Den sentrale testen er Cauchy-Riemann-ligningene.

Cauchy-Riemann (kartesisk): \(u_x=v_y\) og \(u_y=-v_x\).

Tilstrekkelig betingelse: Hvis CR er oppfylt OG \(u,v\) har kontinuerlige førsteordens partiellderiverte i omegnet, er \(f\) analytisk der.

Derivert: \(f'(z)=u_x+iv_x=v_y-iu_y\).

Polar form: \(u_r=\tfrac1r v_\theta,\quad v_r=-\tfrac1r u_\theta\).

Merk: CR er nødvendig men ikke alene tilstrekkelig — kontinuitet av de partiellderiverte må også gjelde.

Eksempel 1: Vis at \(f(z)=z^2\) er analytisk og finn \(f'(z)\).

\(z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy\Rightarrow u=x^2-y^2,\ v=2xy\)

\(u_x=2x,\quad v_y=2x\quad\Rightarrow\quad u_x=v_y\ \checkmark\)

\(u_y=-2y,\quad v_x=2y\quad\Rightarrow\quad u_y=-v_x\ \checkmark\)

CR oppfylt overalt, partiellderiverte kontinuerlige \(\Rightarrow\) hel funksjon

\(f'(z)=u_x+iv_x=2x+2iy=2(x+iy)=2z\)

Harmoniske funksjoner og harmonisk konjugert

En funksjon \(u(x,y)\) er harmonisk hvis den oppfyller Laplace-ligningen \(u_{xx}+u_{yy}=0\). Real- og imaginærdel av enhver analytisk funksjon er harmoniske. Hvis \(f=u+iv\) er analytisk, kalles \(v\) en harmonisk konjugert til \(u\); den er entydig opp til en additiv konstant.

Konstruksjonsmetode (finn \(v\) fra \(u\)):

1. Sjekk at \(u\) er harmonisk: \(u_{xx}+u_{yy}=0\).

2. Integrer \(v_y=u_x\) mhp \(y\): \(v=\int u_x\,dy+g(x)\).

3. Deriver mhp \(x\) og bruk \(v_x=-u_y\) for å bestemme \(g'(x)\).

4. Integrer \(g'\), sett sammen \(f=u+iv\) og uttrykk i \(z\).

Eksempel 2: Gitt \(u=x^3-3xy^2\). Finn harmonisk konjugert \(v\) og analytisk \(f\).

\(u_x=3x^2-3y^2,\ u_{xx}=6x;\quad u_y=-6xy,\ u_{yy}=-6x\)

\(u_{xx}+u_{yy}=6x-6x=0\Rightarrow u\) harmonisk \(\checkmark\)

\(v_y=u_x=3x^2-3y^2\Rightarrow v=3x^2y-y^3+g(x)\)

\(v_x=6xy+g'(x);\quad -u_y=6xy\Rightarrow g'(x)=0\Rightarrow g=C\)

\(v=3x^2y-y^3+C\)

\(f=u+iv=(x^3-3xy^2)+i(3x^2y-y^3)=z^3\ (+iC)\)

Komplekse eksponential-, trig- og hyperbolske funksjoner

Disse er hele funksjoner definert via eksponentialfunksjonen.

\(e^z=e^x(\cos y+i\sin y)\), \(|e^z|=e^x\), periode \(2\pi i\), aldri null.

\(\sin z=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\quad \cos z=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\)

\(\sinh z=\dfrac{e^z-e^{-z}}{2},\quad \cosh z=\dfrac{e^z+e^{-z}}{2}\)

\(\cos(iz)=\cosh z,\ \sin(iz)=i\sinh z,\ \cosh(iz)=\cos z,\ \sinh(iz)=i\sin z\)

\(\sin^2 z+\cos^2 z=1\) gjelder for alle \(z\in\mathbb{C}\). \(\sin z,\cos z\) er ubegrenset i \(\mathbb{C}\).

Løse komplekse ligninger

Standardtrikset er å skrive om til eksponentialform og bruke kompleks logaritme \(\operatorname{Ln}(z)=\ln|z|+i\operatorname{Arg}(z)\).

Eksempel 3: Løs \(\sin z=2\).

Sett \(w=e^{iz}:\quad \dfrac{w-w^{-1}}{2i}=2\)

\(w-w^{-1}=4i\Rightarrow w^2-4iw-1=0\)

\(w=\dfrac{4i\pm\sqrt{-16+4}}{2}=2i\pm\dfrac{\sqrt{-12}}{2}=2i\pm i\sqrt3=i(2\pm\sqrt3)\)

\(|w|=2\pm\sqrt3>0,\ \arg w=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\)

\(iz=\operatorname{Ln}w=\ln(2\pm\sqrt3)+i(\tfrac{\pi}{2}+2\pi k)\)

\(z=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k-i\ln(2\pm\sqrt3)=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k\mp i\ln(2+\sqrt3)\)

(siste likhet bruker \(\ln(2-\sqrt3)=-\ln(2+\sqrt3)\)).

Eksempel 4: Løs \(e^z=-2\).

Skriv \(-2=2e^{i\pi}=2e^{i(\pi+2\pi k)}\)

\(e^z=e^x e^{iy}\Rightarrow e^x=2\Rightarrow x=\ln 2\)

\(y=\pi+2\pi k=\pi(2k+1)\)

\(z=\ln 2+i\pi(2k+1),\quad k\in\mathbb{Z}\)

Studieguide: Komplekse funksjoner og analytisitet