Fra Taylor til Laurent

En Taylorrekke representerer en funksjon som er analytisk i et punkt \(z_0\), og inneholder bare ikke-negative potenser. Når \(f\) har en isolert singularitet i \(z_0\), trenger vi negative potenser for å fange opp oppførselen. Det gir Laurentrekken.

Laurentrekke om \(z_0\):

\(f(z)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\)

Analytisk del: \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\). Hoveddel (principal part): \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{-n}(z-z_0)^{-n}\).

Koeffisienter: \(a_n=\dfrac{1}{2\pi i}\displaystyle\oint_C\dfrac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz\). Konvergerer i annulus \(r<|z-z_0|

Klassifisering av singulariteter

Det er hoveddelen som avgjør typen:

Hevbar: hoveddelen er null. \(\lim_{z\to z_0}f\) eksisterer endelig.

Pol av orden \(m\): endelig mange negative potenser, laveste er \(a_{-m}(z-z_0)^{-m}\) med \(a_{-m}\neq0\). Her går \(|f|\to\infty\).

Vesentlig: uendelig mange negative potenser. Picards teorem: \(f\) antar alle verdier (høyst ett unntak) i enhver omegn.

Orden av pol fra nevnerens nullpunkt

For \(f=h/g\) der \(g\) har nullpunkt av orden \(k\) i \(z_0\) og \(h(z_0)\neq0\): pol av orden \(k\). Hvis telleren også har nullpunkt, må man kansellere felles faktorer (eller sammenligne rekkene) før man avleser netto orden.

Eksempel 1: Klassifiser singulariteten til \(f(z)=\dfrac{\sin z}{z^3}\) i \(z=0\) og finn residyet.

Taylor for teller: \(\sin z=z-\dfrac{z^3}{6}+\dfrac{z^5}{120}-\dots\)

Divider med \(z^3\): \(\dfrac{\sin z}{z^3}=\dfrac{1}{z^2}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{z^2}{120}-\dots\)

Laveste potens er \(z^{-2}\Rightarrow\) pol av orden 2 (ikke 3, fordi telleren har nullpunkt av orden 1).

Residyet er koeffisienten til \(1/z\). Den er \(0\) her (ingen \(z^{-1}\)-ledd), så \(\operatorname{Res}_{z=0}f=0\).

Eksempel 2: Finn de to Laurentrekkene til \(f(z)=\dfrac{1}{z(z-1)}\) om \(z=0\).

Singulariteter i \(z=0\) og \(z=1\) gir to ringer om 0: \(0<|z|<1\) og \(|z|>1\).

Ring 1 \((0<|z|<1)\): \(\dfrac{1}{z(z-1)}=\dfrac1z\cdot\dfrac{-1}{1-z}=-\dfrac1z\sum_{n=0}^{\infty}z^n\)

\(=-\dfrac1z-1-z-z^2-\dots\) Hoveddel \(-1/z\Rightarrow\) enkel pol, residy \(-1\).

Ring 2 \((|z|>1)\): \(\dfrac{1}{z(z-1)}=\dfrac{1}{z^2}\cdot\dfrac{1}{1-1/z}=\dfrac{1}{z^2}\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n}\)

\(=\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^3}+\dfrac{1}{z^4}+\dots\) (bare negative potenser).

Eksempel 3: Finn residyet til \(f(z)=\dfrac{e^z}{z^2}\) i \(z=0\).

\(e^z=1+z+\dfrac{z^2}{2}+\dots\Rightarrow\dfrac{e^z}{z^2}=\dfrac{1}{z^2}+\dfrac1z+\dfrac12+\dots\)

Pol av orden 2. Formel: \(\operatorname{Res}=\dfrac{1}{1!}\lim_{z\to0}\dfrac{d}{dz}\left[z^2\cdot\dfrac{e^z}{z^2}\right]=\lim_{z\to0}\dfrac{d}{dz}e^z\)

\(=\lim_{z\to0}e^z=1\). Stemmer med koeffisient til \(1/z\).

Studieguide: Laurentrekker og singulariteter

Studieguide: Laurentrekker og singulariteter