1. Grunnprinsippet: residyteoremet

All reell integrasjon med komplekse metoder bygger på residyteoremet. Vi konstruerer en lukket kontur i det komplekse planet slik at en del av konturen er det reelle integralet vi ønsker, mens resten (typisk en bue) bidrar med null i grensen.

Residyteoremet: For \(f\) analytisk på og innenfor en lukket, positivt orientert kontur \(C\), unntatt isolerte singulariteter \(z_k\) innenfor:

\[\oint_C f(z)\,dz=2\pi i\sum_k \operatorname{Res}_{z_k}f.\]

Residy i enkel pol: \(\operatorname{Res}_{z_0}f=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)\); for \(f=P/Q\): \(\dfrac{P(z_0)}{Q'(z_0)}\).

Residy i pol av orden \(m\): \(\operatorname{Res}_{z_0}f=\dfrac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\dfrac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\big[(z-z_0)^m f(z)\big].\)

2. Rasjonale integraler over \((-\infty,\infty)\) med halvsirkel

For \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}dx\) der \(Q\) ikke har reelle nullpunkter og \(\deg Q\ge\deg P+2\): vi lukker det reelle intervallet \([-R,R]\) med en halvsirkel \(C_R\) i øvre halvplan. Ved ML-ulikheten avtar buebidraget som \(\frac{1}{R}\to 0\), så hele integralet er \(2\pi i\) ganger summen av residyene i øvre halvplan.

Eksempel: Beregn \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^4}\).

Polene til \(1+z^4=0\) er \(z=e^{i\pi/4},e^{3i\pi/4},e^{5i\pi/4},e^{7i\pi/4}\).

I øvre halvplan ligger \(z_1=e^{i\pi/4}\) og \(z_2=e^{3i\pi/4}\).

Enkel pol: \(\operatorname{Res}_{z_k}=\frac{1}{4z_k^3}\). Med \(z_k^4=-1\) er \(z_k^3=-1/z_k=-\overline{z_k}\) (siden \(|z_k|=1\)), så \(\operatorname{Res}_{z_k}=-\frac{z_k}{4}\).

Sum: \(-\frac{1}{4}(e^{i\pi/4}+e^{3i\pi/4})=-\frac{1}{4}\big(\tfrac{\sqrt2}{2}+i\tfrac{\sqrt2}{2}-\tfrac{\sqrt2}{2}+i\tfrac{\sqrt2}{2}\big)=-\frac{1}{4}(i\sqrt2)=-\frac{i}{2\sqrt2}\).

\(\int=2\pi i\cdot\left(-\frac{i}{2\sqrt2}\right)=\frac{\pi}{\sqrt2}=\frac{\pi\sqrt2}{2}\approx 2{,}221\).

3. Fourier-type integraler og Jordans lemma

For integraler med \(\cos(mx)\) eller \(\sin(mx)\) erstatter vi disse med \(e^{imz}\) (\(m>0\)) og tar real- eller imaginærdelen til slutt. Vi bruker ALDRI \(\cos z\) direkte, fordi \(\cos z\) vokser eksponentielt i øvre halvplan. Jordans lemma garanterer at buebidraget forsvinner selv når \(f\) bare avtar som \(1/R\).

Jordans lemma: For \(m>0\): hvis \(\max_{|z|=R,\,\operatorname{Im}z\ge 0}|f(z)|\to 0\) når \(R\to\infty\), så \(\int_{C_R}f(z)e^{imz}\,dz\to 0\). Husk: \(|e^{imz}|=e^{-my}\to 0\) i øvre halvplan.

Eksempel: Beregn \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{1+x^2}dx\).

Betrakt \(g(z)=\frac{e^{iz}}{1+z^2}\) med \(m=1>0\). Eneste pol i øvre halvplan: \(z=i\).

\(\operatorname{Res}_{i}g=\frac{e^{i\cdot i}}{2i}=\frac{e^{-1}}{2i}\).

\(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{1+x^2}dx=2\pi i\cdot\frac{e^{-1}}{2i}=\frac{\pi}{e}\).

Ta realdelen: \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{e}\approx 1{,}156\). (Imaginærdelen \(\int\frac{\sin x}{1+x^2}dx=0\), som ventet siden integranden er odde.)

4. Trigonometriske integraler via \(z=e^{i\theta}\)

Integraler av typen \(\int_0^{2\pi}R(\cos\theta,\sin\theta)\,d\theta\) gjøres om til konturintegral over enhetssirkelen \(|z|=1\) med substitusjonen \(z=e^{i\theta}\).

\(z=e^{i\theta}\), \(|z|=1\): \(\quad\cos\theta=\dfrac{1}{2}\!\left(z+\dfrac1z\right),\quad \sin\theta=\dfrac{1}{2i}\!\left(z-\dfrac1z\right),\quad d\theta=\dfrac{dz}{iz}.\)

Kun poler med \(|z|<1\) (innenfor sirkelen) bidrar. Standardresultat: \(\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{a+b\cos\theta}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}\) for \(a>|b|>0\).

Eksempel: Beregn \(\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{2+\cos\theta}\).

Sett \(z=e^{i\theta}\): \(2+\cos\theta=2+\frac{1}{2}(z+\frac1z)=\frac{z^2+4z+1}{2z}\), og \(d\theta=\frac{dz}{iz}\).

\(\int=\oint_{|z|=1}\frac{1}{\frac{z^2+4z+1}{2z}}\cdot\frac{dz}{iz}=\frac{2}{i}\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z^2+4z+1}\).

Røtter: \(z=-2\pm\sqrt3\). Bare \(z_0=-2+\sqrt3\approx-0{,}268\) har \(|z_0|<1\).

\(\operatorname{Res}_{z_0}=\frac{1}{2z_0+4}=\frac{1}{2\sqrt3}\).

\(\int=\frac{2}{i}\cdot 2\pi i\cdot\frac{1}{2\sqrt3}=\frac{2\pi}{\sqrt3}=\frac{2\pi\sqrt3}{3}\approx 3{,}628\).

5. Prinsipalverdi og halvt residy

Når \(f\) har en enkel pol PÅ den reelle aksen, eksisterer integralet kun som Cauchy-prinsipalverdi (PV). Vi bukter konturen med en liten halvsirkel rundt polen. En liten bue med vinkel \(\pi\) bidrar med halvparten av et fullt residy: \(\pm\pi i\,\operatorname{Res}\) (fortegn etter buktretning).

Halvt residy: En liten bue som spenner vinkelen \(\alpha\) (mot klokka) rundt enkel pol \(z_0\) gir \(i\alpha\operatorname{Res}_{z_0}f\) når radius \(\to 0\). For halvsirkel over polen (med klokka): \(-\pi i\operatorname{Res}\).

Full formel (poler i øvre halvplan + på aksen, innbuktet over): \[\operatorname{PV}\!\int_{-\infty}^{\infty}f\,dx=2\pi i\!\!\sum_{\text{øvre}}\!\operatorname{Res}f+\pi i\!\!\sum_{\text{aksen}}\!\operatorname{Res}f.\]

Eksempel: Beregn \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx\).

Betrakt \(\frac{e^{iz}}{z}\) med pol \(z=0\) på aksen. Kontur: \([-R,-\varepsilon]\), liten halvsirkel \(C_\varepsilon\) over \(0\), \([\varepsilon,R]\), stor halvsirkel \(C_R\) i øvre halvplan.

Ingen poler innenfor, så \(\oint=0\). \(C_R\to 0\) ved Jordans lemma.

\(\operatorname{Res}_0\frac{e^{iz}}{z}=1\); buen \(C_\varepsilon\) (med klokka) gir \(-\pi i\cdot 1=-\pi i\).

Dermed \(\operatorname{PV}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{x}dx-\pi i=0\Rightarrow \operatorname{PV}\int\frac{e^{ix}}{x}dx=\pi i\).

Imaginærdelen: \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\pi\). (Realdelen gir \(\operatorname{PV}\int\frac{\cos x}{x}dx=0\), siden integranden er odde.)

Studieguide: Reelle integraler via residyer

Studieguide: Reelle integraler via residyer