Egenverdiproblemet \(X''=\lambda X\)

Når man løser en PDE som varmeligningen \(u_t=c^2u_{xx}\) ved separasjon \(u=XT\), fører romdelen til et randverdiproblem \(X''=\lambda X\) med homogene randkrav arvet fra \(u\). Dette er et egenverdiproblem: vi søker de \(\lambda\) (egenverdier) som gir ikke-trivielle løsninger \(X\not\equiv 0\) (egenfunksjoner). Den trivielle løsningen \(X=0\) finnes alltid, men er uinteressant.

Tre tilfeller av \(\lambda\) for \(X''=\lambda X\):

\(\lambda=-p^2<0:\quad X=A\cos px+B\sin px\)

\(\lambda=0:\quad X=A+Bx\)

\(\lambda=\mu^2>0:\quad X=A\cosh\mu x+B\sinh\mu x\)

For Dirichlet-randkrav på endelig intervall gir bare det negative tilfellet ikke-trivielle løsninger.

Hvorfor bare \(\lambda<0\) gir egenfunksjoner

Med Dirichlet-randkrav \(X(0)=X(L)=0\) må vi teste alle tre tilfellene. Bare oscillerende løsninger (\(\sin\)) kan være null i to ulike punkt uten å være identisk null.

Eksempel 1: Løs \(X''=\lambda X,\ X(0)=X(L)=0\) fullstendig.

Tilfelle \(\lambda=\mu^2>0\): \(X=A\cosh\mu x+B\sinh\mu x\)

\(X(0)=A=0\); \(X(L)=B\sinh(\mu L)=0\), og \(\sinh(\mu L)\neq 0\Rightarrow B=0\). Bare \(X=0\).

Tilfelle \(\lambda=0\): \(X=A+Bx\); \(X(0)=A=0\), \(X(L)=BL=0\Rightarrow B=0\). Bare \(X=0\).

Tilfelle \(\lambda=-p^2<0\): \(X=A\cos px+B\sin px\)

\(X(0)=A=0\Rightarrow X=B\sin px\)

\(X(L)=B\sin(pL)=0\); for \(B\neq0\) kreves \(\sin(pL)=0\Rightarrow pL=n\pi\)

\(\Rightarrow p=\dfrac{n\pi}{L},\quad \lambda_n=-\left(\dfrac{n\pi}{L}\right)^2,\quad X_n=\sin\dfrac{n\pi x}{L},\ n=1,2,3,\dots\)

Egenfunksjoner som ortogonal basis

Egenfunksjonene fra et regulært Sturm-Liouville-problem har tre nøkkelegenskaper: egenverdiene er reelle og enkle, og egenfunksjoner for ulike egenverdier er ortogonale med vekt \(r\). For \(X''=\lambda X\) er \(r=1\).

Ortogonalitet og norm på \([0,L]\):

\(\displaystyle\int_0^L\sin\frac{m\pi x}{L}\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx=0\quad (m\neq n)\)

\(\displaystyle\int_0^L\sin^2\frac{n\pi x}{L}\,dx=\frac{L}{2}\)

Utvikling av startfunksjon i egenfunksjoner

Fordi egenfunksjonene er en komplett ortogonal basis, kan en startfunksjon \(f\) utvikles som \(f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\). Koeffisientene finnes ved å ta indreprodukt med \(\sin(m\pi x/L)\); ortogonaliteten gjør at bare ett ledd overlever.

Koeffisientformel:

\(b_n=\dfrac{\langle f,X_n\rangle}{\langle X_n,X_n\rangle}=\dfrac{2}{L}\displaystyle\int_0^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx\)

Eksempel 2: Utvikle \(f(x)=x\) på \([0,\pi]\) i egenfunksjonene \(\sin(nx)\) (her \(L=\pi\)).

\(b_n=\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^\pi x\sin(nx)\,dx\)

Delvis integrasjon: \(\int_0^\pi x\sin(nx)dx=\left[-\dfrac{x\cos nx}{n}\right]_0^\pi+\dfrac{1}{n}\int_0^\pi\cos nx\,dx\)

\(=-\dfrac{\pi\cos n\pi}{n}+\dfrac{1}{n}\left[\dfrac{\sin nx}{n}\right]_0^\pi=-\dfrac{\pi(-1)^n}{n}+0=\dfrac{\pi(-1)^{n+1}}{n}\)

\(b_n=\dfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{\pi(-1)^{n+1}}{n}=\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\)

\(x=2\left(\sin x-\tfrac12\sin 2x+\tfrac13\sin 3x-\cdots\right)\) på \((0,\pi)\)

Eksempel 3: Full varmeligningsløsning. Løs \(u_t=c^2u_{xx}\), \(u(0,t)=u(L,t)=0\), \(u(x,0)=f(x)\).

Separer \(u=XT\): \(\dfrac{X''}{X}=\dfrac{T'}{c^2T}=\lambda\)

Romdel: \(X''=\lambda X,\ X(0)=X(L)=0\Rightarrow \lambda_n=-\left(\tfrac{n\pi}{L}\right)^2,\ X_n=\sin\tfrac{n\pi x}{L}\)

Tidsdel: \(T_n'=c^2\lambda_n T_n\Rightarrow T_n=e^{-c^2(n\pi/L)^2 t}\)

Superposisjon: \(u(x,t)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n\sin\tfrac{n\pi x}{L}\,e^{-c^2(n\pi/L)^2 t}\)

Startbetingelse \(t=0\): \(f(x)=\sum b_n\sin\tfrac{n\pi x}{L}\Rightarrow b_n=\dfrac{2}{L}\displaystyle\int_0^L f(x)\sin\tfrac{n\pi x}{L}dx\)

Andre randkrav

Randkravene avgjør hvilken egenfunksjonsfamilie man får. Neumann \(X'(0)=X'(L)=0\) gir \(\cos(n\pi x/L)\) med \(n=0,1,2,\dots\) (konstanten \(\lambda_0=0\) er egenfunksjon). Blandet \(X(0)=0,\ X'(L)=0\) gir \(\sin\frac{(2n-1)\pi x}{2L}\). Periodiske randkrav gir hele Fourier-basisen med doble egenverdier.

Studieguide: Sturm-Liouville og egenfunksjoner