1. Modellen og separasjonsansatzen

Den endimensjonale varmeligningen for en stav av lengde \(L\) er \(u_t=c^2u_{xx}\), der \(u(x,t)\) er temperaturen og \(c^2=K/(\sigma\rho)\) er termisk diffusivitet. Vi søker løsninger på produktform \(u(x,t)=F(x)G(t)\).

Separasjon av variabler: Sett \(u=F(x)G(t)\) inn i \(u_t=c^2u_{xx}\). Da \(F\dot G=c^2F''G\). Del på \(c^2FG\):

\[\frac{\dot G}{c^2G}=\frac{F''}{F}=k\]

Venstre side avhenger kun av \(t\), høyre kun av \(x\), så begge er lik en konstant \(k\). Vi får to ODE-er: \(F''-kF=0\) og \(\dot G-c^2kG=0\).

2. Egenverdiproblemet og valg av fortegn

Randbetingelsene avgjør fortegnet på \(k\). For en stav med endene på 0 grader (Dirichlet) er \(F(0)=F(L)=0\). Hvis \(k\ge0\) får vi bare triviell løsning \(F\equiv0\). Vi setter derfor \(k=-p^2<0\), som gir \(F''+p^2F=0\) med generell løsning \(F(x)=A\cos px+B\sin px\).

Egenfunksjoner og egenverdier (Dirichlet):

\(F(0)=0\Rightarrow A=0\). \(F(L)=B\sin pL=0\Rightarrow pL=n\pi\). Dermed:

\[F_n(x)=\sin\frac{n\pi x}{L},\qquad \lambda_n=\left(\frac{cn\pi}{L}\right),\qquad n=1,2,3,\dots\]

Tidsdelen: \(\dot G=-c^2p_n^2G\) gir \(G_n(t)=e^{-\lambda_n^2t}\) med \(\lambda_n=\frac{cn\pi}{L}\).

3. Superposisjon og koeffisienter

Hver mode \(u_n=B_n\sin\frac{n\pi x}{L}e^{-\lambda_n^2t}\) løser PDE-en og randbetingelsene. Siden ligningen er lineær og homogen, er summen også en løsning:

\[u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\frac{n\pi x}{L}\,e^{-\lambda_n^2t}\]

Startbetingelsen \(u(x,0)=f(x)\) gir en Fourier-sinusrekke. Ved ortogonalitet \(\int_0^L\sin\frac{m\pi x}{L}\sin\frac{n\pi x}{L}dx=\frac{L}{2}\delta_{mn}\):

\[B_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx\]

Eksempel 1: Stav \(L=\pi\), \(c=1\), endene på 0, \(u(x,0)=3\sin x-\sin 4x\). Finn \(u(x,t)\).

Startbetingelsen er allerede en sinusrekke: kun moder \(n=1\) og \(n=4\).

Koeffisienter: \(B_1=3\), \(B_4=-1\), alle andre \(B_n=0\).

Egenverdier: \(\lambda_n=\frac{cn\pi}{L}=\frac{1\cdot n\pi}{\pi}=n\), så \(\lambda_1=1,\ \lambda_4=4\).

Demping: \(e^{-\lambda_1^2t}=e^{-t}\) og \(e^{-\lambda_4^2t}=e^{-16t}\).

Svar: \(u(x,t)=3\sin x\,e^{-t}-\sin 4x\,e^{-16t}\).

4. Neumann-randbetingelser (isolerte ender)

Med isolerte ender er \(u_x(0,t)=u_x(L,t)=0\). Fra \(F=A\cos px+B\sin px\) gir \(F'(0)=Bp=0\Rightarrow B=0\), og \(F'(L)=-Ap\sin pL=0\Rightarrow pL=n\pi\). Egenfunksjonene blir \(\cos\frac{n\pi x}{L}\), nå inkludert \(n=0\) (konstantmoden).

Neumann-løsning:

\[u(x,t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos\frac{n\pi x}{L}\,e^{-\lambda_n^2t}\]

\[A_0=\frac{1}{L}\int_0^L f\,dx,\qquad A_n=\frac{2}{L}\int_0^L f\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx\]

Likevektstemperaturen er \(A_0\) = middelet av starttemperaturen, siden ingen varme strømmer ut.

Eksempel 2: Isolert stav \(L=\pi\), \(c=1\), \(u(x,0)=\cos 2x\). Finn \(u(x,t)\).

Startbetingelsen er allerede en ren cosinus-mode \(n=2\).

Middelverdi: \(A_0=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\cos 2x\,dx=\frac{1}{\pi}\left[\frac{\sin 2x}{2}\right]_0^\pi=0\).

Koeffisient: \(A_2=1\), alle andre \(A_n=0\).

Egenverdi: \(\lambda_2=\frac{cn\pi}{L}=\frac{2\pi}{\pi}=2\), så \(\lambda_2^2=4\).

Svar: \(u(x,t)=\cos 2x\,e^{-4t}\). Når \(t\to\infty\) går \(u\to0\) (her er middelet 0).

5. Stabilitet og demping

Tidsfaktoren \(e^{-\lambda_n^2t}\) med \(\lambda_n^2\propto n^2\) betyr at høye moder dempes mye raskere enn lave. Etter kort tid domineres løsningen av den laveste moden. For Dirichlet \(u\to0\); for Neumann \(u\to A_0\). Maksimumsprinsippet garanterer at løsningen holder seg innenfor start- og randverdiene.

6. Ikke-homogene rand og modifiserte ligninger

Med faste endetemperaturer \(u(0,t)=T_1,\ u(L,t)=T_2\) trekkes stasjonærløsningen \(u_s(x)=T_1+\frac{T_2-T_1}{L}x\) fra: \(v=u-u_s\) har homogene rand og løses standard. For varmetap \(u_t=c^2u_{xx}-\beta u\) gir substitusjonen \(u=e^{-\beta t}v\) standard varmeligning for \(v\), slik at hver mode dempes med \(e^{-(\lambda_n^2+\beta)t}\).

Studieguide: Varmeligning og separasjon av variabler

Studieguide: Varmeligning og separasjon av variabler