1. Funksjonsbegrepet

En funksjon \(f:A\to B\) tilordner hvert element i domenet \(A\) nøyaktig én verdi i kodomenet \(B\). Formelt er \(f\) en delmengde av \(A\times B\) (mengde av ordnede par \(\langle a,b\rangle\)) der hver \(a\in A\) opptrer i nøyaktig ett par. Skill alltid mellom kodomenet \(B\) (det oppgitte målet) og bildet \(f(A)=\{f(a):a\in A\}\) (det som faktisk treffes).

De tre kjernedefinisjonene

Injektiv: \(f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow a_1=a_2\).
Surjektiv: for hver \(b\in B\) finnes \(a\in A\) med \(f(a)=b\), dvs. \(f(A)=B\).
Bijektiv: injektiv OG surjektiv.

2. Bevisstruktur

Injektivitetsbevis (direkte): «Anta \(f(a_1)=f(a_2)\)» — manipuler likningen — «derfor \(a_1=a_2\)». For å vise at noe IKKE er injektivt holder ett moteksempel. Surjektivitetsbevis: «La \(b\in B\) være vilkårlig» — løs \(f(a)=b\) for \(a\) og sjekk at \(a\in A\) — «derfor surjektiv».

Eksempel 1: Vis at \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=5x+2\) er bijektiv.

Injektiv: anta \(5x_1+2=5x_2+2\)

\(\Rightarrow 5x_1=5x_2 \Rightarrow x_1=x_2\). OK.

Surjektiv: la \(y\in\mathbb{R}\), velg \(x=\tfrac{y-2}{5}\)

\(f(x)=5\cdot\tfrac{y-2}{5}+2=y-2+2=y\). OK.

Begge oppfylt \(\Rightarrow f\) er bijektiv, med \(f^{-1}(y)=\tfrac{y-2}{5}\).

3. Bilde og urbilde av delmengder

For \(S\subseteq A\): \(f(S)=\{f(s):s\in S\}\). For \(T\subseteq B\): \(f^{-1}(T)=\{a\in A:f(a)\in T\}\). Urbildet er definert selv om \(f\) ikke har en invers — ikke forveksle notasjonen.

Mengdelover

Urbilder bevarer alt eksakt: \(f^{-1}(C\cup D)=f^{-1}(C)\cup f^{-1}(D)\), \(f^{-1}(C\cap D)=f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)\), \(f^{-1}(\overline{C})=\overline{f^{-1}(C)}\).
Bilder: \(f(S\cup T)=f(S)\cup f(T)\), men kun \(f(S\cap T)\subseteq f(S)\cap f(T)\).
Videre: \(S\subseteq f^{-1}(f(S))\) og \(f(f^{-1}(T))\subseteq T\) (likhet ved hhv. injektiv/surjektiv).

4. Komposisjon og invers

\((g\circ f)(a)=g(f(a))\) — \(f\) først, så \(g\). Komposisjon er assosiativ men IKKE kommutativ. En funksjon er inverterbar nøyaktig når den er bijektiv, og \((g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}\).

Eksempel 2: \(f(x)=x+1\), \(g(x)=2x\). Regn ut begge komposisjoner og inversen til \(g\circ f\).

\((g\circ f)(x)=g(x+1)=2(x+1)=2x+2\)

\((f\circ g)(x)=f(2x)=2x+1\) (ulik!)

Invers av \(h(x)=2x+2\): \(y=2x+2\Rightarrow x=\tfrac{y-2}{2}\)

\(h^{-1}(x)=\tfrac{x-2}{2}\); sjekk via \(f^{-1}\circ g^{-1}\): \(g^{-1}(x)=\tfrac{x}{2}\), \(f^{-1}(x)=x-1\)

\((f^{-1}\circ g^{-1})(x)=\tfrac{x}{2}-1=\tfrac{x-2}{2}\). Stemmer.

5. Gulv- og takfunksjon

\(\lfloor x\rfloor\) = største heltall \(\leq x\); \(\lceil x\rceil\) = minste heltall \(\geq x\). Vær spesielt nøye med negative tall.

Eksempel 3: Bevis identiteten \(\lceil x\rceil=-\lfloor -x\rfloor\).

La \(n=\lceil x\rceil\), så \(n-1

Gang med \(-1\) (snu ulikheter): \(-n\leq -x<-n+1\)

Da er \(-n\) største heltall \(\leq -x\), dvs. \(\lfloor -x\rfloor=-n\)

Altså \(-\lfloor -x\rfloor=n=\lceil x\rceil\). QED.

6. Telling av funksjoner

Med \(|A|=m\), \(|B|=n\): antall funksjoner \(=n^m\); antall injeksjoner \(=P(n,m)=n(n-1)\cdots(n-m+1)\) (0 hvis \(m>n\)). For endelige mengder med \(|A|=|B|\) er injektiv, surjektiv og bijektiv ekvivalente (skuffeprinsippet).

Studieguide: Funksjoner

Studieguide: Funksjoner