TMA4245

Cheat Sheet

Formler, begreper og oppsummering

Statistikk

eksamenssett.no

Formler

Kombinatorikk og sannsynlighet

• $P(A)=\dfrac{|A|}{|S|}$ (uniformt utfallsrom)
• $\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$
•Permutasjoner: $\dfrac{n!}{(n-k)!}$
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
• $P(A^c)=1-P(A)$
•Pascal: $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$
•Multinomial: $\dfrac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_r!}$
•Stjerner og staver: $\binom{n+k-1}{k-1}$

Betinget sannsynlighet og Bayes

• $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0$
• $P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B)=P(A)\,P(B\mid A)$
• $P(A\cap B\cap C)=P(A)\,P(B\mid A)\,P(C\mid A\cap B)$
•Uavhengighet: $P(A\cap B)=P(A)P(B)\iff P(A\mid B)=P(A)$
•Total sannsynlighet: $\displaystyle P(A)=\sum_{i=1}^k P(A\mid B_i)P(B_i)$
•Bayes: $\displaystyle P(B_j\mid A)=\dfrac{P(A\mid B_j)P(B_j)}{\sum_i P(A\mid B_i)P(B_i)}$
•Odds-form: $\dfrac{P(H\mid E)}{P(H^c\mid E)}=\dfrac{P(E\mid H)}{P(E\mid H^c)}\cdot\dfrac{P(H)}{P(H^c)}$

Stokastiske variabler

•Diskret normalisering: $\displaystyle \sum_x p(x)=1,\quad p(x)\ge 0$
•Kontinuerlig normalisering: $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1,\quad f(x)\ge 0$
•CDF: $F(x)=P(X\le x)$ , med $f(x)=F'(x)$ og $\displaystyle F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\,dt$
•Intervallsannsynlighet: $\displaystyle P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
•Forventning: $\displaystyle E[X]=\sum_x x\,p(x)$ (diskret) eller $\displaystyle E[X]=\int x f(x)\,dx$ (kontinuerlig)
•Varians: $\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2,\quad \sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}$
•LOTUS: $\displaystyle E[g(X)]=\sum_x g(x)p(x)$ eller $\displaystyle \int g(x)f(x)\,dx$
•Lineæritet: $E[aX+b]=aE[X]+b,\quad \operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$
•Eksponensial: $f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\ F(x)=1-e^{-\lambda x},\ E[X]=1/\lambda,\ \operatorname{Var}(X)=1/\lambda^2$

Diskrete fordelinger

•Binomisk: $P(X=x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$ , $E[X]=np$ , $\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$
•Poisson: $\displaystyle P(X=x)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$ , $E[X]=\mathrm{Var}(X)=\lambda$ , intervall: $\lambda=\lambda_0 t$
•Hypergeometrisk: $\displaystyle P(X=x)=\frac{\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}$ , $\displaystyle E[X]=n\frac{K}{N}$ , $\displaystyle \mathrm{Var}(X)=n\frac{K}{N}(1-\frac{K}{N})\frac{N-n}{N-1}$
•Geometrisk: $P(X=x)=(1-p)^{x-1}p$ , $\displaystyle E[X]=\frac{1}{p}$ , $\displaystyle \mathrm{Var}(X)=\frac{1-p}{p^2}$ , $P(X>k)=(1-p)^k$
•Negativ binomisk: $P(X=x)=\binom{x-1}{r-1}p^r(1-p)^{x-r}$ , $\displaystyle E[X]=\frac{r}{p}$ , $\displaystyle \mathrm{Var}(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}$
•Tilnærming binomisk→Poisson: $\mathrm{bin}(n,p)\approx\mathrm{Poisson}(np)$ når $n$ stor, $p$ liten

Kontinuerlige fordelinger

•Normaltetthet: $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}$
•Standardisering: $\displaystyle Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$ , $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$
•Sum av uavhengige normale: $X+Y\sim N(\mu_X+\mu_Y,\;\sigma_X^2+\sigma_Y^2)$
•Eksponential: $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ , $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ , $P(X>x)=e^{-\lambda x}$
•Eksponential: $\displaystyle E[X]=\frac{1}{\lambda}$ , $\displaystyle \text{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^2}$ , median $\displaystyle =\frac{\ln 2}{\lambda}$
•Hukommelsesløshet: $P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$
•Uniform $U[a,b]$ : $\displaystyle E[X]=\frac{a+b}{2}$ , $\displaystyle \text{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$
•Gamma $(\alpha,\beta)$ : $E[X]=\alpha\beta$ , $\text{Var}(X)=\alpha\beta^2$ , $\Gamma(n)=(n-1)!$

Forventning og varians

• $\displaystyle E[X]=\sum_x x\,p(x)$ (diskret), $\displaystyle \;E[X]=\int x\,f(x)\,dx$ (kontinuerlig)
• $\displaystyle E[g(X)]=\sum_x g(x)p(x)$ (LOTUS)
• $E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c$ (linearitet)
• $\text{Var}(X)=E[(X-\mu)^2]=E[X^2]-(E[X])^2$
• $\text{SD}(X)=\sigma=\sqrt{\text{Var}(X)}$
• $\text{Var}(aX+b)=a^2\,\text{Var}(X)$
• $\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)+2\,\text{Cov}(X,Y)$
• $\text{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$
• $\text{Var}(\bar X)=\sigma^2/n$ , standardfeil $=\sigma/\sqrt{n}$
• $M_X(t)=E[e^{tX}],\quad E[X^n]=M_X^{(n)}(0)$
•bin $(n,p)$ : $E[X]=np,\;\text{Var}(X)=np(1-p)$
•Poisson $(\lambda)$ : $E[X]=\text{Var}(X)=\lambda$
•Uniform $(a,b)$ : $E[X]=\tfrac{a+b}{2},\;\text{Var}(X)=\tfrac{(b-a)^2}{12}$
•Eksponential $(\lambda)$ : $E[X]=\tfrac{1}{\lambda},\;\text{Var}(X)=\tfrac{1}{\lambda^2}$

Simultanfordelinger og kovarians

•Marginal (diskret): $\displaystyle f_X(x)=\sum_y f(x,y)$
•Marginal (kontinuerlig): $\displaystyle f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy$
•Betinget: $f_{Y\mid X}(y\mid x)=\dfrac{f(x,y)}{f_X(x)}$
•Kovarians: $\operatorname{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$
•Korrelasjon: $\rho_{XY}=\dfrac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\,\sigma_Y},\quad -1\le\rho_{XY}\le 1$
•Bilinearitet: $\operatorname{Cov}(aX+b,\,cY+d)=ac\,\operatorname{Cov}(X,Y)$
•Lineær forventning: $E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]$
•Varians av lineærkombinasjon: $\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)+2ab\operatorname{Cov}(X,Y)$
•Sum av $n$ variabler: $\displaystyle \operatorname{Var}\!\left(\sum_i X_i\right)=\sum_i\operatorname{Var}(X_i)+2\sum_{i<j}\operatorname{Cov}(X_i,X_j)$
•Gjennomsnitt (iid): $\operatorname{Var}(\bar X)=\dfrac{\sigma^2}{n}$
•Uavhengighet: $f(x,y)=f_X(x)\,f_Y(y)$

Sentralgrenseteoremet

• $E[\bar{X}]=\mu,\quad \operatorname{Var}(\bar{X})=\dfrac{\sigma^2}{n},\quad \sigma_{\bar X}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
•CLT (standardisert): $\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}=\dfrac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\xrightarrow{d} N(0,1)$
•CLT (praktisk): $\bar{X}\approx N\!\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right),\quad S_n\approx N(n\mu,\,n\sigma^2)$
•LLN: $\bar{X}_n\xrightarrow{P}\mu$ ; Chebyshev: $P(|\bar{X}_n-\mu|\geq\varepsilon)\leq \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$
•Normaltilnærming binomisk: $X\approx N(np,\,np(1-p))$ når $np\geq 5,\ n(1-p)\geq 5$
•Normaltilnærming Poisson: $X\approx N(\lambda,\lambda)$ for stor $\lambda$
•Kontinuitetskorreksjon: $P(X\leq k)\approx P(Y\leq k+0{,}5),\quad P(X\geq k)\approx P(Y\geq k-0{,}5)$
•Standardfeil for andel: $\operatorname{SE}(\hat{p})=\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$

Punktestimering

• $E[\bar{X}]=\mu,\quad \text{Var}(\bar{X})=\dfrac{\sigma^2}{n}$
• $\displaystyle S^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2,\quad E[S^2]=\sigma^2$
• $\text{bias}(\hat{\theta})=E[\hat{\theta}]-\theta$
• $\text{MSE}(\hat{\theta})=\text{Var}(\hat{\theta})+[\text{bias}(\hat{\theta})]^2$
• $\displaystyle L(\theta)=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta),\quad \ell(\theta)=\sum_{i=1}^n\ln f(x_i;\theta)$
•MLE: løs $\ell'(\theta)=0$ og sjekk $\ell''(\theta)<0$
•Momentmetoden: $\displaystyle E[X^k]=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^k$
• $\text{Var}(\hat{p})=\dfrac{p(1-p)}{n}$ for $\hat p=X/n$
•Cramér–Rao: $\text{Var}(\hat{\theta})\geq \dfrac{1}{I(\theta)}$

Konfidensintervall

•KI for $\mu$ (kjent $\sigma$ ): $\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
•KI for $\mu$ (ukjent $\sigma$ ): $\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,\dfrac{s}{\sqrt{n}}$
•KI for andel: $\hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
•KI for varians: $\left[\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,n-1}},\,\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,n-1}}\right]$
•Pivot ( $\sigma$ kjent): $Z=\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$
•Pivot ( $\sigma$ ukjent): $T=\dfrac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}$
•Pivot (varians): $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}$
•Utvalgsstørrelse for $\mu$ : $n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2$ , der $E$ er ønsket feilmargin
• $z$ -verdier: $z_{0{,}05}=1{,}645$ , $z_{0{,}025}=1{,}96$ , $z_{0{,}005}=2{,}576$

Hypotesetesting

• $Z=\dfrac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$ under $H_0$ (kjent $\sigma$ )
• $T=\dfrac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}$ under $H_0$ (ukjent $\sigma$ )
• $Z=\dfrac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$ for test av andel
•P-verdi tosidig: $p=2(1-\Phi(|z|))$ ; ensidig høyre: $p=1-\Phi(z)$ ; ensidig venstre: $p=\Phi(z)$
•Forkast $H_0$ hvis $p\le\alpha$ , eller hvis $|z|>z_{\alpha/2}$ (tosidig) / $z>z_\alpha$ (ensidig)
• $\alpha=P(\text{type I-feil})$ , $\beta=P(\text{type II-feil})$ , styrke $=1-\beta$
•Nødvendig $n$ (ensidig): $n=\dfrac{(z_\alpha+z_\beta)^2\sigma^2}{\delta^2}$
•Kritiske verdier: $z_{0{,}05}=1{,}645$ , $z_{0{,}025}=1{,}96$ , $z_{0{,}01}=2{,}33$ , $z_{0{,}005}=2{,}576$

Enkel lineær regresjon

• $\hat{\beta}_1=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$ , $\hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}$
• $\displaystyle S_{xx}=\sum(x_i-\bar{x})^2$ , $\displaystyle S_{xy}=\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ , $\displaystyle S_{yy}=\sum(y_i-\bar{y})^2$
• $SST=SSR+SSE$ og $R^2=1-\dfrac{SSE}{SST}=r^2$
• $SSE=S_{yy}-\hat{\beta}_1 S_{xy}=S_{yy}-\dfrac{S_{xy}^2}{S_{xx}}$
• $S^2=\dfrac{SSE}{n-2}$ (forventningsrett for $\sigma^2$ )
• $\text{Var}(\hat{\beta}_1)=\dfrac{\sigma^2}{S_{xx}}$ , $\text{SE}(\hat{\beta}_1)=\sqrt{\dfrac{S^2}{S_{xx}}}$
• $T=\dfrac{\hat{\beta}_1-\beta_1^{(0)}}{\text{SE}(\hat{\beta}_1)}\sim t_{n-2}$
•KI for $\beta_1$ : $\hat{\beta}_1\pm t_{\alpha/2,n-2}\,\text{SE}(\hat{\beta}_1)$
• $\text{Var}(\hat{\mu}_{Y\mid x_0})=\sigma^2\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{(x_0-\bar{x})^2}{S_{xx}}\right)$

Vanlige feil å unngå

Kombinatorikk og sannsynlighet

•Forveksle permutasjon (rekkefølge teller) med kombinasjon (rekkefølge teller ikke).
•Glemme å trekke fra snittet i unionsregelen, og dermed telle felles utfall dobbelt.
•Anta at disjunkt og uavhengig er det samme — disjunkte hendelser med positiv sannsynlighet er aldri uavhengige.
•Bruke $P(A)+P(B)$ direkte når hendelsene ikke er disjunkte.
•Bruke symmetriprinsippet $|A|/|S|$ når utfallene ikke er like sannsynlige.
•Feiltelle gjentatte elementer i anagrammer (glemme å dele på $n_i!$ for hver gjentatt type).

Betinget sannsynlighet og Bayes

•Forveksle $P(A\mid B)$ og $P(B\mid A)$ — særlig å tro at sensitiviteten $P(+\mid D)$ er lik $P(D\mid+)$ (base rate fallacy).
•Dele på feil nevner: $P(A\mid B)$ skal deles på $P(B)$ , ikke $P(A)$ .
•Anta $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ uten å sjekke uavhengighet — denne gjelder kun ved uavhengighet.
•Blande sammen disjunkthet og uavhengighet; disjunkte hendelser med positiv sannsynlighet er aldri uavhengige.
•Glemme å normalisere i Bayes — nevneren $P(A)$ må regnes ut med lov om total sannsynlighet, ikke bare settes til $P(B_j)$ .
•Bruke produktregelen for trekk uten tilbakelegging som om det var med tilbakelegging (glemme at sannsynligheten endres).
•Tro at parvis uavhengighet medfører gjensidig uavhengighet for tre eller flere hendelser.

Stokastiske variabler

•Å tro at $f(x)$ er en sannsynlighet — den er en tetthet og kan godt være større enn $1$ . Bare $\displaystyle \int f(x)\,dx=1$ kreves.
•Å skrive $P(X=a)>0$ for en kontinuerlig variabel — det er alltid $0$ , så $P(a\le X\le b)=P(a<X<b)$ .
•Å glemme å kvadrere i variansformelen: det er $(E[X])^2$ , ikke $E[X^2]$ , som trekkes fra. Forskyvningsformelen er $\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2$ .
•Å regne $E[g(X)]=g(E[X])$ — dette gjelder kun for lineære $g$ . Bruk LOTUS ellers.
•Å glemme integrasjonsgrensene fra tetthetens definisjonsområde, eller å integrere over hele $\mathbb{R}$ når $f$ bare er positiv på et intervall.
•Å bytte om $\operatorname{Var}(aX+b)=a\operatorname{Var}(X)$ ; korrekt er $a^2\operatorname{Var}(X)$ , og $b$ påvirker ikke variansen.
•For diskret CDF: å bruke $<$ i stedet for $\le$ . Per definisjon er $F(x)=P(X\le x)$ (høyrekontinuerlig).

Diskrete fordelinger

•Forveksler binomisk og hypergeometrisk: bruker binomisk når trekning skjer uten tilbakelegging fra liten populasjon (forsøkene er da avhengige).
•Bruker $np(1-p)$ som forventning i stedet for varians for binomisk fordeling.
•Glemmer korreksjonsfaktoren $\displaystyle \frac{N-n}{N-1}$ i variansen til den hypergeometriske fordelingen.
•Forveksler de to versjonene av geometrisk/negativ binomisk: 'antall forsøk' (starter på $x=1$ hhv. $x=r$ ) vs. 'antall fiaskoer' (starter på $0$ ). Sjekk alltid hvilken definisjon oppgaven bruker.
•Skalerer ikke Poisson-intensiteten riktig ved endret intervallengde — husk $\lambda=\lambda_0 t$ .
•Bruker Poisson-tilnærming når $p$ ikke er liten; den krever stor $n$ og liten $p$ .

Kontinuerlige fordelinger

•Adderer standardavvik i stedet for varianser ved sum av uavhengige variabler: bruk $\sigma_{X+Y}=\sqrt{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$ , ikke $\sigma_X+\sigma_Y$ .
•Blander rate $\lambda$ og forventning $\displaystyle \frac{1}{\lambda}$ i eksponentialfordelingen: hvis $E[X]=4$ er $\lambda=0{,}25$ , ikke $4$ .
•Glemmer å standardisere før tabelloppslag, eller deler på varians $\sigma^2$ i stedet for standardavvik $\sigma$ i $\displaystyle z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ .
•Bruker $\Phi(-z)=\Phi(z)$ (feil) i stedet for $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$ .
•Forveksler skala- $\beta$ og rate-parametrisering av gamma: med skala $\beta$ er $E[X]=\alpha\beta$ ; med rate $\lambda=1/\beta$ er $E[X]=\alpha/\lambda$ .
•Antar at medianen til eksponentialfordelingen er lik forventningen — medianen $\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda}$ er mindre fordi fordelingen er høyreskjev.

Forventning og varians

•Glemmer å kvadrere koeffisienten: skriver $\text{Var}(aX+b)=a\,\text{Var}(X)$ i stedet for $a^2\text{Var}(X)$ .
•Tror at konstanten $b$ påvirker variansen i $\text{Var}(aX+b)$ — den gjør det ikke.
•Bruker $\text{Var}(X+Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$ uten å sjekke uavhengighet; glemmer kovariansleddet $2\text{Cov}(X,Y)$ .
•Antar $E[g(X)]=g(E[X])$ for ikke-lineære $g$ , f.eks. $E[X^2]=(E[X])^2$ (feil — differansen er nettopp variansen).
•Forveksler forventning $np$ og varians $np(1-p)$ for binomisk fordeling.
•Bruker $n$ i stedet for $n-1$ i utvalgsvariansen, slik at estimatoren ikke blir forventningsrett.
•Glemmer fortegnet ved varians av differanse: $\text{Var}(X-Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$ (pluss!) ved uavhengighet, ikke minus.
•Rapporterer negativ varians etter regnefeil — varians kan aldri være negativ.

Simultanfordelinger og kovarians

•Tror at $\operatorname{Var}(X-Y)=\operatorname{Var}(X)-\operatorname{Var}(Y)$ . Riktig er $\operatorname{Var}(X-Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)-2\operatorname{Cov}(X,Y)$ — variansene ADDERES alltid.
•Konkluderer med uavhengighet fra $\operatorname{Cov}=0$ . Ukorrelasjon medfører ikke uavhengighet; korrelasjon måler kun LINEÆR sammenheng.
•Glemmer kovariansleddet $2ab\operatorname{Cov}(X,Y)$ i $\operatorname{Var}(aX+bY)$ når variablene IKKE er uavhengige.
•Tror $E[XY]=E[X]E[Y]$ generelt. Dette gjelder kun ved uavhengighet (eller når $\operatorname{Cov}=0$ ).
•Antar uavhengighet bare fordi tettheten ser separabel ut, uten å sjekke at støttet er et produktområde (rektangel).
•Forveksler marginal og betinget fordeling: marginal summerer ut den andre variabelen, betinget deler på marginalen.
•Behandler konstanter feil i kovarians: $\operatorname{Cov}(aX+b,cY+d)=ac\operatorname{Cov}(X,Y)$ — konstantleddene $b,d$ påvirker ikke kovariansen.

Sentralgrenseteoremet

•Bruker $\sigma$ i stedet for standardfeilen $\sigma/\sqrt{n}$ når man standardiserer $\bar{X}$ — husk at gjennomsnittet har mindre spredning enn enkeltobservasjonen.
•Glemmer kontinuitetskorreksjonen ( $\pm 0{,}5$ ) ved normaltilnærming av diskrete fordelinger (binomisk/Poisson), noe som gir merkbar feil ved moderat $n$ .
•Forveksler LLN og CLT: tror CLT sier at $\bar{X}$ går mot $\mu$ (det er LLN), eller at LLN handler om fordelingsform (det er CLT).
•Tror $\bar{X}$ blir eksakt normalfordelt for alle $n$ — det er kun TILNÆRMET (eksakt bare hvis $X_i$ selv er normalfordelte).
•Bruker normaltilnærming når $p$ er svært liten (skjev fordeling) i stedet for Poisson-tilnærming med $\lambda=np$ .
•Setter feil retning på kontinuitetskorreksjonen: $P(X\geq k)$ skal bruke $k-0{,}5$ , ikke $k+0{,}5$ .
•Glemmer å bruke $t$ -fordeling når $\sigma$ er ukjent og estimeres med $S$ (særlig ved lite $n$ ).

Punktestimering

•Forveksle estimator (stokastisk variabel) med estimat (tallverdi).
•Dele på $n$ i stedet for $n-1$ når $\mu$ er ukjent — gir forventningsskjev variansestimator.
•Bruke $n-1$ når $\mu$ er kjent; da skal man dele på $n$ i $\displaystyle \frac{1}{n}\sum(X_i-\mu)^2$ .
•Glemme å sjekke at MLE-løsningen er et maksimum (annenderivert < 0) eller å overse randpunkter, som i Uniform $(0,\theta)$ .
•Anta at MLE alltid er forventningsrett — MLE for $\sigma^2$ i normalfordeling er forventningsskjev.
•Tro at $S=\sqrt{S^2}$ er forventningsrett for $\sigma$ fordi $S^2$ er forventningsrett for $\sigma^2$ (Jensens ulikhet bryter dette).
•Maksimere $L(\theta)$ direkte og rote med produktregelen i stedet for å bruke log-rimelighet.
•Sammenligne estimatorer kun på varians når en av dem er forventningsskjev — bruk MSE.

Konfidensintervall

•Tolke ' $95\%$ ' som sannsynligheten for at $\mu$ ligger i det beregnede intervallet — konfidensgraden gjelder prosedyren, ikke det enkelte intervallet.
•Bruke $z$ i stedet for $t$ når $\sigma$ er ukjent og estimeres med $s$ (spesielt feil for små $n$ ).
•Bruke feil antall frihetsgrader — det skal være $n-1$ , ikke $n$ .
•Bytte om grensene i KI for $\sigma^2$ : den STØRSTE $\chi^2$ -verdien $(\chi^2_{\alpha/2})$ gir den NEDRE grensen.
•Glemme å sjekke betingelsene $n\hat{p}\ge5$ og $n(1-\hat{p})\ge5$ før normaltilnærming for andel.
•Avrunde $n$ NED i stedet for OPP når man bestemmer minste utvalgsstørrelse.
•Konkludere at to forventninger er like fordi deres individuelle KI overlapper — bruk i stedet KI for differansen.
•Forvente at KI for $\sigma^2$ er symmetrisk om $s^2$ — $\chi^2$ -fordelingen er skjev.

Hypotesetesting

•Tolke p-verdien som $P(H_0 \text{ sann})$ — den er $P(\text{minst så ekstrem data}\mid H_0)$ .
•Si «vi aksepterer/beviser $H_0$ » i stedet for «vi beholder/forkaster ikke $H_0$ » — manglende bevis er ikke bevis på fravær.
•Glemme å doble p-verdien i en tosidig test ( $p=2(1-\Phi(|z|))$ , ikke $1-\Phi(|z|)$ ).
•Bruke $z$ -fordeling i stedet for $t_{n-1}$ når $\sigma$ er ukjent og $n$ er lite.
•Forveksle type I- og type II-feil, eller blande $\alpha$ og $\beta$ .
•Tro at lavere $\alpha$ alltid er bedre — det øker $\beta$ og senker styrken for fast $n$ .
•Forveksle statistisk signifikans med praktisk betydning; med stor $n$ blir selv små effekter signifikante.
•Plassere forskerens påstand i $H_0$ i stedet for $H_1$ , eller sette likhetstegnet i $H_1$ .

Enkel lineær regresjon

•Dele $SSE$ på $n$ eller $n-1$ i stedet for $n-2$ ved estimering av $\sigma^2$ — to parametere er estimert, så frihetsgradene er $n-2$ .
•Bruke standard normalfordeling ( $z$ ) i stedet for $t$ -fordeling når $\sigma$ er ukjent og erstattet av $S$ .
•Tro at høy $R^2$ beviser at modellen er korrekt — residualanalyse kan avsløre krumning selv ved $R^2$ nær 1.
•Tolke skjæringspunktet $\hat{\beta}_0$ utenfor dataområdet (ekstrapolasjon), der det ofte er meningsløst.
•Forveksle $R^2$ med korrelasjonen $r$ : husk $R^2=r^2$ , og at fortegnet til $r$ forsvinner ved kvadrering.
•Glemme at regresjonslinjen alltid går gjennom $(\bar{x},\bar{y})$ — nyttig sjekk på $\hat{\beta}_0$ .
•Bytte teller og nevner i $\hat{\beta}_1=S_{xy}/S_{xx}$ .

Eksamenstips

Kombinatorikk og sannsynlighet

•Når oppgaven sier «minst én», prøv alltid komplementmetoden $1-P(\text{ingen})$ først.
•Sett opp tellingen som en brøk $\displaystyle \frac{\text{gunstige}}{\text{mulige}}$ med $\binom{n}{k}$ i både teller og nevner ved uttrekk uten tilbakelegging.
•Spør deg selv to ting før du teller: betyr rekkefølge noe, og er det tilbakelegging?
•Tegn et Venn-diagram for å holde styr på $A\cap B$ , $A\cap B^c$ osv. ved unions- og komplementoppgaver.
•Sjekk alltid at sluttsvaret ligger mellom $0$ og $1$ — ellers har du gjort en feil.
•Husk at $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ kan forenkle store binomialkoeffisienter.

Betinget sannsynlighet og Bayes

•Tegn alltid et trediagram for total sannsynlighet / Bayes-oppgaver — det reduserer feil med betingelser drastisk.
•Identifiser hva som er gitt ( $P(A\mid B_i)$ ) og hva som spørres etter ( $P(B_j\mid A)$ ); hvis betingelsen skal snus, bruk Bayes.
•Skriv nevneren i Bayes eksplisitt som en sum over partisjonen — det gir delpoeng selv om sluttverdien blir feil.
•Bruk komplementregelen for «minst én»-oppgaver: $P(\text{minst én})=1-P(\text{ingen})$ .
•Sjekk uavhengighet ved å teste $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ direkte — ikke anta det.
•Husk desimalkomma og oppgi svar med rimelig antall siffer; ved små priorer i medisinske tester, forvent lav posterior.
•Ved sekvensielle trekk uten tilbakelegging, bruk kjederegelen med oppdaterte teller/nevner for hvert trekk.

Stokastiske variabler

•Sjekk alltid normaliseringen først: regner du med tetthet, verifiser $\displaystyle \int f=1$ ; med punktsannsynlighet, verifiser $\displaystyle \sum p=1$ . Det avslører feil tidlig.
•Når en konstant er ukjent i en tetthet, sett opp normaliseringsintegralet og løs for konstanten før du gjør noe annet.
•For å finne sannsynligheter er det ofte raskest å gå via CDF $F$ : $P(a<X\le b)=F(b)-F(a)$ .
•Bruk forskyvningsformelen $\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2$ — den er nesten alltid enklere enn $E[(X-\mu)^2]$ .
•Tegn gjerne en skisse av $f(x)$ og $F(x)$ . For uniform og trekantede tettheter kan areal regnes geometrisk uten integral.
•Skill tydelig diskret/kontinuerlig i besvarelsen: bruk sum for diskret og integral for kontinuerlig, og angi alltid definisjonsområdet.
•Husk enhetene: varians har kvadrert enhet, standardavvik samme enhet som $X$ . Det hjelper å kontrollere rimeligheten i svaret.

Diskrete fordelinger

•Identifiser modellen FØR du regner: tell om antallet forsøk er fast (binomisk), om det er hendelser i et intervall (Poisson), om trekning er uten tilbakelegging (hypergeometrisk), eller om du venter på suksess nr. 1 eller $r$ (geometrisk/negativ binomisk).
•Bruk komplementregelen $P(X\ge1)=1-P(X=0)$ for å spare regnetid.
•Skriv alltid ned formelen med innsatte tall før du regner ut — det gir delpoeng selv om sluttsvaret blir feil.
•Oppgi forventning og varians når oppgaven ber om det; disse er ofte 'gratis' poeng fra standardformlene.
•Husk hukommelsesløsheten til den geometriske fordelingen: $P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$ forenkler betingede sannsynligheter dramatisk.
•Ved store $n$ : vurder om Poisson- eller normaltilnærming er forventet, og oppgi hvilken betingelse som rettferdiggjør den.

Kontinuerlige fordelinger

•Tegn alltid en skisse av tetthetskurven og skraver området du skal finne — det avslører om du trenger $\Phi(z)$ , $1-\Phi(z)$ eller en differanse.
•Skriv ned $\mu$ , $\sigma$ (eller $\lambda$ , $a$ , $b$ , $\alpha$ , $\beta$ ) eksplisitt før du regner, og dobbeltsjekk at du bruker $\sigma$ og ikke $\sigma^2$ i nevneren.
•For ventetidsoppgaver: gjenkjenn Poissonprosess $\Rightarrow$ eksponentialfordelte mellomtider; ved «allerede ventet»-betingelser bruk hukommelsesløshet.
•Ved sum av flere eksponentialer eller faser: gjenkjenn at totalen er gammafordelt og bruk $E=\alpha\beta$ , $\text{Var}=\alpha\beta^2$ .
•Lær de vanlige $z$ -verdiene utenat: $1{,}645$ ( $90\%$ ), $1{,}96$ ( $95\%$ ), $2{,}576$ ( $99\%$ ) — sparer tid på konfidensintervall og hypotesetesting.
•Verifiser at sannsynligheter ligger i $[0,1]$ og at svaret er rimelig (f.eks. $P(X>\mu)\approx 0{,}5$ for symmetriske fordelinger).

Forventning og varians

•Lær regneformelen $\text{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2$ utenat — den sparer mye tid sammenlignet med definisjonen.
•Ved lineære kombinasjoner: bruk linearitet for forventning og kvadrer koeffisientene for varians; sjekk alltid om variablene er uavhengige før du dropper kovariansleddet.
•Ved kontinuerlige variabler: regn ut $E[X]$ og $E[X^2]$ som integraler først, og sett deretter inn i variansformelen.
•Husk standardresultatene for bin, Poisson, uniform og eksponential — de dukker stadig opp og slipper utledning.
•Kontroller alltid at variansen din er ikke-negativ; et negativt svar avslører en regnefeil.
•Når du viser at en estimator er forventningsrett, bruk linearitet av $E[\cdot]$ direkte på summen $\displaystyle \frac{1}{n}\sum X_i$ .
•For $\text{Var}(\bar X)=\sigma^2/n$ : husk at faktoren $1/n$ blir $1/n^2$ inni variansen før den ganges med $n\sigma^2$ .

Simultanfordelinger og kovarians

•Sett alltid opp $E[X]$ , $E[Y]$ og $E[XY]$ FØRST når oppgaven ber om kovarians — da følger $\operatorname{Cov}=E[XY]-E[X]E[Y]$ direkte.
•For tabelloppgaver: regn ut marginalene i radens/kolonnens marg før du finner forventninger; det reduserer regnefeil.
•Sjekk om variablene er uavhengige før du regner varians av en sum — er de uavhengige, faller kovariansleddet bort og regningen forenkles.
•Husk at $\rho$ er enhetsløs og i $[-1,1]$ ; et svar utenfor dette intervallet betyr regnefeil.
•Ved sum av uavhengige normalfordelte: identifiser bare $\mu_1+\mu_2$ og $\sigma_1^2+\sigma_2^2$ og bruk normalfordelingstabell direkte — ingen integrering nødvendig.
•Bruk bilinearitet $\displaystyle \operatorname{Cov}(aX+bY,cW+dZ)=\sum ac\operatorname{Cov}(\cdot,\cdot)$ for å unngå tunge utregninger på lineærkombinasjoner.
•Bruk desimalkomma og oppgi mellomregninger; sensor gir delpoeng for korrekt oppsett selv ved sluttfeil.

Sentralgrenseteoremet

•Skriv alltid opp $\mu$ , $\sigma$ og standardfeilen $\sigma/\sqrt{n}$ eksplisitt før du standardiserer — det forhindrer den vanligste feilen.
•Tegn en liten skisse av normalfordelingen og marker området du skal finne; det hjelper deg velge $\Phi(z)$ vs. $1-\Phi(z)$ riktig.
•Ved binomisk/Poisson: spør deg alltid «er dette en diskret variabel?» — i så fall, bruk kontinuitetskorreksjon.
•Sjekk om $\sigma$ er kjent (bruk $Z$ ) eller ukjent og estimert (bruk $t_{n-1}$ ) før du velger fordeling.
•Husk de viktigste $z$ -verdiene: $\Phi(1{,}645)=0{,}95$ , $\Phi(1{,}96)=0{,}975$ , $\Phi(2{,}33)=0{,}99$ — nyttige for konfidensintervall.
•For sumoppgaver: bruk $S_n\approx N(n\mu,\,n\sigma^2)$ direkte i stedet for å gå veien om $\bar{X}$ — det sparer tid.
•Når oppgaven sier «tilnærmet», forventes CLT/normaltilnærming; sjekk at $n$ er stor nok og nevn kort hvilket teorem du bruker.

Punktestimering

•Skriv alltid opp $L(\theta)$ og ta logaritmen FØR du deriverer — det sparer tid og feil.
•Husk randpunkt-argument for fordelinger med parameter i grensene (Uniform, forskjøvet eksponensiell).
•Ved «vis at forventningsrett»: bruk lineariteten $\displaystyle E[\sum]=\sum E$ og sett opp $E[\hat\theta]$ eksplisitt.
•For varians av $\bar X$ og $\hat p$ : bruk $\text{Var}(aX)=a^2\text{Var}(X)$ og uavhengighet.
•Når oppgaven ber om både MLE og momentestimator: regn ut begge og kommenter om de er like (de er det for Poisson/eksponensiell, ulike for uniform).
•Ved effektivitetssammenligning: regn ut variansene og oppgi forholdet eksplisitt med konklusjon om hvilken som er best.
•Bruk MSE-dekomposisjonen når estimatorer med ulik bias skal rangeres.

Konfidensintervall

•Identifiser FØRST hvilken parameter ( $\mu$ , $p$ eller $\sigma^2$ ) og om $\sigma$ er kjent — det avgjør om du bruker $z$ , $t$ eller $\chi^2$ .
•Skriv alltid opp pivotstørrelsen og formelen før du setter inn tall; det gir delpoeng selv om regningen glipper.
•Husk standardfeilen: $\sigma/\sqrt{n}$ eller $s/\sqrt{n}$ for $\mu$ , $\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$ for andel.
•Sjekk rimeligheten: punktestimatet skal ligge i midten av KI for $\mu$ og $p$ (men IKKE for $\sigma^2$ ).
•Ved utvalgsstørrelse-oppgaver: løs ulikheten for $n$ og rund ALLTID opp til nærmeste heltall.
•Bruk dualiteten til hypotesetest: ligger $\mu_0$ utenfor det tosidige KI, kan du forkaste $H_0$ på nivå $\alpha$ .
•For ensidige KI: legg hele $\alpha$ i én hale, så bruk $z_\alpha$ (f.eks. $1{,}645$ for $95\%$ ), ikke $z_{\alpha/2}$ .
•Oppgi alltid svaret med en kort tolkningssetning — det etterspørres ofte og gir poeng.

Hypotesetesting

•Skriv alltid eksplisitt opp $H_0$ og $H_1$ , og avgjør om testen er ensidig eller tosidig FØR du regner.
•Sjekk om $\sigma$ er kjent (bruk $z$ ) eller ukjent (bruk $t_{n-1}$ ) — dette avgjør hvilken tabell du slår opp i.
•Vis standardfeilen $\sigma/\sqrt{n}$ (eller $s/\sqrt{n}$ ) som eget mellomsteg for å unngå regnefeil.
•Oppgi konklusjonen i kontekst: «Vi forkaster $H_0$ på 5 %-nivå; data tyder på at $\mu>\mu_0$ », ikke bare «forkast».
•For styrke-/ $\beta$ -oppgaver: finn først forkastningsgrensen $\bar{x}_c$ i original skala, standardiser så under den sanne $\mu_1$ .
•Husk dualiteten KI–test: $\mu_0$ utenfor $(1-\alpha)$ -KI ⇔ forkast $H_0$ i tosidig test på nivå $\alpha$ .
•Bruk desimalkomma og oppgi p-verdier med fire desimaler når du leser fra normalfordelingstabellen.

Enkel lineær regresjon

•Beregn $\bar{x}$ , $\bar{y}$ , $S_{xx}$ , $S_{xy}$ , $S_{yy}$ først og sett opp en oversiktstabell — alt annet bygger på disse.
•Bruk regneformelen $SSE=S_{yy}-\hat{\beta}_1 S_{xy}$ i stedet for å regne ut hver $\hat{y}_i$ ; det sparer tid og reduserer feil.
•Sjekk at regresjonslinjen treffer $(\bar{x},\bar{y})$ og at $\displaystyle \sum e_i=0$ for å avdekke regnefeil.
•Husk frihetsgrader $n-2$ når du slår opp den kritiske $t$ -verdien i tabellen.
•Ved hypotesetest: oppgi $H_0$ , $H_1$ , testobservator, kritisk verdi/ $p$ -verdi og en tydelig konklusjon i kontekst.
•Skriv alltid tolkninger med enheter (f.eks. «forventet salg øker med 3500 kr per 1000 kr reklame»).
•Vær oppmerksom på koblingen KI–test: hvis $95\%$ -KI for $\beta_1$ ikke inneholder $0$ , forkastes $H_0:\beta_1=0$ på $5\%$ -nivå.