1. Null- og alternativhypotese

En hypotesetest stiller to konkurrerende påstander om en populasjonsparameter (ofte $\mu$, $p$ eller $\sigma^2$). Nullhypotesen $H_0$ uttrykker «status quo» eller «ingen effekt» og inneholder alltid et likhetstegn, f.eks. $H_0:\mu=\mu_0$. Alternativhypotesen $H_1$ er det forskeren ønsker å påvise, og er enten tosidig ($H_1:\mu\neq\mu_0$) eller ensidig ($H_1:\mu>\mu_0$ eller $H_1:\mu<\mu_0$).

Grunnregel: Påstanden du ønsker å bevise legges i $H_1$. Testen kontrollerer sannsynligheten for å forkaste en sann $H_0$ (type I-feil) til et lavt nivå $\alpha$, slik at en forkasting er et sterkt argument for $H_1$. Vi beviser aldri $H_0$ — vi «beholder» den eller «forkaster» den.

2. Testobservator og p-verdi

En testobservator er en funksjon av dataene hvis fordeling under $H_0$ er kjent. Når $\sigma$ er kjent bruker vi $$Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1) \text{ under } H_0.$$ Når $\sigma$ er ukjent og estimeres med $s$ (normalfordelte data), bruker vi $$T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}.$$ P-verdien er sannsynligheten, gitt $H_0$, for å observere en testobservator minst så ekstrem som den observerte. Liten p-verdi = sterke bevis mot $H_0$.

Eksempel 1 (z-test, tosidig): Et utvalg gir $\bar{x}=52{,}0$ med $n=25$, kjent $\sigma=5{,}0$. Vi tester $H_0:\mu=50$ mot $H_1:\mu\neq 50$.
Standardfeil: $\sigma/\sqrt{n}=5{,}0/\sqrt{25}=5{,}0/5=1{,}0$.
$z=\dfrac{52{,}0-50}{1{,}0}=2{,}0$.
P-verdi (tosidig): $p=2(1-\Phi(2{,}0))=2(1-0{,}9772)=2\cdot 0{,}0228=0{,}0456$.
Med $\alpha=0{,}05$ er $p=0{,}0456\le 0{,}05$, så vi forkaster $H_0$.

3. Signifikansnivå

Signifikansnivået $\alpha=P(\text{forkaste } H_0\mid H_0 \text{ sann})$ velges på forhånd (typisk 0,05). Beslutningsregelen er: forkast $H_0$ hvis $p\le\alpha$, eller ekvivalent hvis testobservatoren faller i forkastningsområdet. Kritiske verdier ved $\alpha=0{,}05$: ensidig $z_{0{,}05}=1{,}645$, tosidig $z_{0{,}025}=1{,}96$. Ved $\alpha=0{,}01$: ensidig $2{,}33$, tosidig $2{,}576$. Lavere $\alpha$ gir mindre forkastningsområde.

Eksempel 2 (ensidig t-test): $n=9$, $\bar{x}=12{,}0$, $s=3{,}0$. Test $H_0:\mu=10$ mot $H_1:\mu>10$, $\alpha=0{,}05$.
Standardfeil: $s/\sqrt{n}=3{,}0/\sqrt{9}=3{,}0/3=1{,}0$.
$t=\dfrac{12{,}0-10}{1{,}0}=2{,}0$ med $n-1=8$ frihetsgrader.
Kritisk verdi $t_{0{,}05,8}=1{,}860$. Siden $t=2{,}0>1{,}860$, forkaster vi $H_0$ — middelet er signifikant større enn 10 på 5 %-nivå.

4. Type I- og type II-feil

En test kan ta to typer feilbeslutninger:

Type I-feil: forkaste $H_0$ når $H_0$ er sann (falsk positiv), sannsynlighet $\alpha$.
Type II-feil: beholde $H_0$ når $H_1$ er sann (falsk negativ), sannsynlighet $\beta$.

For fast $n$ er det en avveining: senker man $\alpha$, øker $\beta$. Den eneste måten å redusere begge samtidig er å øke utvalgsstørrelsen $n$.

5. Teststyrke

Teststyrken er $1-\beta=P(\text{forkaste } H_0\mid H_1 \text{ sann})$ — sannsynligheten for å oppdage en virkelig effekt. Styrken øker med: større $n$, større effekt $|\delta|=|\mu_1-\mu_0|$, større $\alpha$ og mindre $\sigma$. Den vokser med størrelsen $\dfrac{|\delta|\sqrt{n}}{\sigma}$. For å bestemme nødvendig $n$ (ensidig) brukes $$n=\frac{(z_\alpha+z_\beta)^2\sigma^2}{\delta^2}.$$ Styrkefunksjonen $\gamma(\mu)=P(\text{forkaste }H_0\mid\mu)$ er $\alpha$ ved $\mu=\mu_0$ og stiger mot 1 når $\mu$ fjerner seg fra $\mu_0$.

Studieguide: Hypotesetesting