Utfallsrom og hendelser

Et tilfeldig eksperiment beskrives ved et utfallsrom $S$ — mengden av alle mulige utfall. En hendelse $A$ er en delmengde av $S$. Vi bruker mengdeoperasjoner: union $A\cup B$ (A eller B), snitt $A\cap B$ (A og B), og komplement $A^c$ (ikke A). To hendelser er disjunkte (gjensidig utelukkende) hvis $A\cap B=\varnothing$.

Grunnregel — symmetriprinsippet: Når alle utfall i $S$ er like sannsynlige, er $$P(A)=\frac{|A|}{|S|}=\frac{\text{antall gunstige}}{\text{antall mulige}}.$$ Da reduseres sannsynlighetsregning til telling — og det er her kombinatorikken kommer inn.

Kombinatorikk — systematisk telling

Produktregelen: Skal et valg gjøres i steg med $n_1,n_2,\dots,n_k$ muligheter, er totalen $n_1\cdot n_2\cdots n_k$. Permutasjoner teller ordnede uttrekk: $\frac{n!}{(n-k)!}$. Kombinasjoner teller uordnede uttrekk: $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Nøkkelspørsmålet er alltid: spiller rekkefølge en rolle, og er det tilbakelegging?

Eksempel 1 — uttrekk fra urne: En urne har $4$ røde og $6$ blå kuler. Vi trekker $3$ uten tilbakelegging. Finn $P(\text{nøyaktig 2 røde})$.
Antall måter å velge $2$ røde av $4$: $\binom{4}{2}=6$. Antall måter å velge $1$ blå av $6$: $\binom{6}{1}=6$. Totalt antall uttrekk: $\binom{10}{3}=120$.
$$P=\frac{\binom{4}{2}\binom{6}{1}}{\binom{10}{3}}=\frac{6\cdot 6}{120}=\frac{36}{120}=0{,}30.$$

Aksiomer

Kolmogorovs aksiomer: (1) $P(A)\ge 0$, (2) $P(S)=1$, (3) for disjunkte hendelser er $P\!\left(\bigcup_i A_i\right)=\sum_i P(A_i)$. Av disse følger viktige regler: $P(\varnothing)=0$, $0\le P(A)\le 1$, og monotoni: hvis $A\subseteq B$ så $P(A)\le P(B)$.

Unionsregelen

For vilkårlige hendelser gjelder inklusjon–eksklusjon: $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$ Snittet trekkes fra fordi det ellers telles to ganger. For tre hendelser legges trippelsnittet til igjen. Når hendelsene er disjunkte, faller snittleddet bort.

Eksempel 2 — kortstokk: Trekk ett kort fra $52$. Finn $P(\text{hjerter eller bildekort})$, der bildekort er knekt, dame eller konge.
$P(\text{hjerter})=\frac{13}{52}$, $P(\text{bildekort})=\frac{12}{52}$. Felles (hjerter-bildekort): knekt, dame, konge i hjerter $=3$, så $P(\text{begge})=\frac{3}{52}$.
$$P(\text{hjerter}\cup\text{bildekort})=\frac{13}{52}+\frac{12}{52}-\frac{3}{52}=\frac{22}{52}\approx 0{,}423.$$

Komplement

Komplementregelen $P(A^c)=1-P(A)$ er ofte den raskeste veien, spesielt for «minst én»-spørsmål: $P(\text{minst én})=1-P(\text{ingen})$.

Eksempel 3 — minst én sekser: Kast tre terninger. Finn $P(\text{minst én sekser})$.
Komplementet «ingen sekser» har sannsynlighet $\left(\frac{5}{6}\right)^3=\frac{125}{216}$ ved uavhengighet.
$$P(\text{minst én})=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}\approx 0{,}421.$$

De Morgans lover knytter komplement til union og snitt: $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$ og $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$.

Studieguide: Kombinatorikk og sannsynlighet

Studieguide: Kombinatorikk og sannsynlighet