Hva er et konfidensintervall?

Et punktestimat (som $\bar{x}$) gir én verdi, men sier ingenting om usikkerheten. Et konfidensintervall $[L,U]$ er et intervall beregnet fra data slik at den tilhørende prosedyren fanger den sanne parameteren med en angitt sannsynlighet $1-\alpha$, kalt konfidensgraden. Grensene $L$ og $U$ er tilfeldige (de avhenger av utvalget), mens parameteren er en fast, ukjent konstant.

Grunnregel — generell form:

De fleste KI har formen $$\text{estimat} \pm \text{kritisk verdi} \times \text{standardfeil}.$$ Den kritiske verdien kommer fra $N(0,1)$ ($z$), $t$-fordelingen ($t$) eller $\chi^2$-fordelingen, avhengig av parameter og hva som er kjent. Feilmarginen er kritisk verdi $\times$ standardfeil, og bredden er to ganger feilmarginen.

KI for forventning $\mu$ — kjent varians

Når $\sigma^2$ er kjent og dataene er normalfordelte (eller $n$ stor), er $Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$. Dette gir intervallet $$\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$ Vanlige kritiske verdier: $z_{0{,}05}=1{,}645$ ($90\%$), $z_{0{,}025}=1{,}96$ ($95\%$), $z_{0{,}005}=2{,}576$ ($99\%$).

Eksempel 1 — kjent varians:

En maskin fyller poser med kjent standardavvik $\sigma=4$ g. Av $n=16$ poser måles snittvekt $\bar{x}=25$ g. Finn $95\%$ KI for $\mu$.

Standardfeil: $\sigma/\sqrt{n}=4/\sqrt{16}=1$. Feilmargin: $1{,}96\cdot1=1{,}96$. Intervall: $$25\pm1{,}96=[23{,}04;\,26{,}96].$$ Vi er $95\%$ konfidente på at sann snittvekt ligger mellom $23{,}04$ og $26{,}96$ g.

KI for forventning $\mu$ — ukjent varians og $t$-fordelingen

I praksis er $\sigma$ nesten alltid ukjent. Da estimerer vi den med utvalgsstandardavviket $s$, og pivotstørrelsen blir $T=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}$, en $t$-fordeling med $n-1$ frihetsgrader. Intervallet er $$\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.$$ $t$-fordelingen er symmetrisk om $0$ men har tyngre haler enn $N(0,1)$ — den ekstra spredningen kompenserer for at $s$ er en usikker estimator av $\sigma$. For store $n$ konvergerer $t$ mot $N(0,1)$.

Eksempel 2 — ukjent varians ($t$):

Ni måltider analyseres: $\bar{x}=12{,}5$, $s=2{,}1$, $n=9$. Finn $95\%$ KI for $\mu$. Med $n-1=8$ frihetsgrader er $t_{0{,}025,8}=2{,}306$.

Standardfeil: $s/\sqrt{n}=2{,}1/\sqrt{9}=0{,}7$. Feilmargin: $2{,}306\cdot0{,}7=1{,}614$. Intervall: $$12{,}5\pm1{,}614=[10{,}89;\,14{,}11].$$

KI for andel $p$

For en andel estimeres $p$ med $\hat{p}=X/n$. Ved normaltilnærming (gyldig når $n\hat{p}\ge5$ og $n(1-\hat{p})\ge5$) er $$\hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.$$ Eksempel: $n=100$, $\hat{p}=0{,}4$ gir $\widehat{SE}=\sqrt{0{,}4\cdot0{,}6/100}=0{,}049$, feilmargin $1{,}96\cdot0{,}049=0{,}096$, og $95\%$ KI $=[0{,}304;\,0{,}496]$. For å bestemme utvalgsstørrelse brukes verste fall $p(1-p)=0{,}25$.

KI for varians $\sigma^2$

For normalfordelte data er $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}$. Dette gir $$\left[\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,\,n-1}},\;\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1}}\right].$$ Merk: $\chi^2$-fordelingen er høyreskjev, så intervallet er ikke symmetrisk om $s^2$, og den største $\chi^2$-verdien gir den nedre grensen. Metoden er sensitiv for brudd på normalitet.

Eksempel 3 — varians ($\chi^2$):

$n=20$, $s^2=4$. Finn $95\%$ KI for $\sigma^2$ med $\chi^2_{0{,}025,19}=32{,}85$ og $\chi^2_{0{,}975,19}=8{,}907$.

$(n-1)s^2=19\cdot4=76$. Intervall: $$\left[\frac{76}{32{,}85},\;\frac{76}{8{,}907}\right]=[2{,}31;\,8{,}53].$$

Tolkning og dualitet med hypotesetest

Konfidensgraden gjelder prosedyren: ved gjentatt sampling vil ca. $95\%$ av intervallene fange parameteren. Etter at dataene er observert er grensene faste tall, og det er feil å si '$95\%$ sannsynlighet for at $\mu$ er i akkurat dette intervallet'. Det er en dualitet mellom tosidig test og KI: et $(1-\alpha)$ KI inneholder nøyaktig de $\mu_0$-verdiene som ikke forkastes i en tosidig test på nivå $\alpha$.

Studieguide: Konfidensintervall

Studieguide: Konfidensintervall