Areal under graf og mellom kurver

Det bestemte integralet \(\int_a^b f(x)\,dx\) gir det signerte arealet: deler under x-aksen teller negativt. For geometrisk areal under en graf som krysser x-aksen må man dele opp ved nullpunktene og summere absoluttverdiene. Arealet mellom to kurver er integralet av øverste minus nederste funksjon.

Areal mellom kurver: Når \(f(x)\ge g(x)\) på \([a,b]\):

\(A=\displaystyle\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx\)

Finn alltid skjæringspunktene først ved å løse \(f(x)=g(x)\), og avgjør hvilken kurve som ligger øverst.

Eksempel 1: Finn arealet mellom \(f(x)=2x\) og \(g(x)=x^2\).

Skjæring: \(x^2=2x\Rightarrow x^2-2x=0\Rightarrow x(x-2)=0\Rightarrow x=0,\,2\)

På \([0,2]\) er \(2x\ge x^2\), så \(f\) ligger øverst.

\(A=\int_0^2 (2x-x^2)\,dx=\left[x^2-\tfrac{x^3}{3}\right]_0^2\)

\(=\left(4-\tfrac{8}{3}\right)-0=\tfrac{12-8}{3}=\tfrac{4}{3}\)

Omdreiningsvolum

Roterer man et planområde om en akse, dannes et omdreiningslegeme. Tre metoder brukes: skive (heltett), ring (med hull) og sylinderskall.

Skive om x-aksen: \(V=\pi\displaystyle\int_a^b (f(x))^2\,dx\)

Ring om x-aksen (ytre \(f\), indre \(g\)): \(V=\pi\displaystyle\int_a^b \big((f(x))^2-(g(x))^2\big)\,dx\)

Skive om y-aksen (\(x=g(y)\)): \(V=\pi\displaystyle\int_c^d (g(y))^2\,dy\)

Sylinderskall om y-aksen: \(V=2\pi\displaystyle\int_a^b x\,f(x)\,dx\)

Eksempel 2: Roter området under \(f(x)=\cos x\) på \([0,\pi/2]\) om x-aksen.

\(V=\pi\int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx\)

Bruk \(\cos^2 x=\tfrac{1+\cos 2x}{2}\):

\(V=\pi\int_0^{\pi/2}\tfrac{1+\cos 2x}{2}\,dx=\tfrac{\pi}{2}\left[x+\tfrac{\sin 2x}{2}\right]_0^{\pi/2}\)

\(=\tfrac{\pi}{2}\left(\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\sin\pi}{2}-0\right)=\tfrac{\pi}{2}\cdot\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{\pi^2}{4}\)

Polare og parametriske områder

I polare koordinater sveiper radiusvektoren ut et areal. For en parametrisk kurve setter man \(dx=x'(t)\,dt\).

Polart areal: \(A=\tfrac{1}{2}\displaystyle\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta\)

Parametrisk areal: \(A=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} y(t)\,x'(t)\,dt\)

Buelengde: \(L=\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\), parametrisk \(L=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{(x')^2+(y')^2}\,dt\)

Akkumulert mengde fra rate

Integralet av en rate gir total akkumulert mengde. Dette er fundamentalteoremet anvendt: er \(F'(t)=r(t)\), så er \(\int_a^b r(t)\,dt=F(b)-F(a)\). Typiske eksempler: strekning fra fart, fart fra akselerasjon, volum fra strømningsrate, ladning fra strøm.

\(s(t)=s_0+\displaystyle\int_0^t v(\tau)\,d\tau\), \(\quad v(t)=v_0+\displaystyle\int_0^t a(\tau)\,d\tau\)

Total tilbakelagt vei (når farten skifter fortegn): \(\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}|v(t)|\,dt\).

Gjennomsnittsverdi av en funksjon

Gjennomsnittsverdien er høyden på et rektangel med bredde \((b-a)\) som har samme areal som under grafen.

\(\bar f=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)

Middelverdisetningen: det finnes \(c\in[a,b]\) med \(f(c)=\bar f\).

Studieguide: Anvendelser av integrasjon

Studieguide: Anvendelser av integrasjon