Grensedefinisjonen av den deriverte

Den deriverte måler momentan endringsrate og er stigningstallet til tangenten. Definisjonen er grenseverdien av differanskvotienten (sekantens stigningstall):

\[f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

Funksjonen er deriverbar i \(x\) dersom denne grensen eksisterer og er endelig. Deriverbarhet medfører kontinuitet, men en kontinuerlig funksjon trenger ikke være deriverbar (knekkpunkt, vertikal tangent).

Eksempel 1: Deriver \(f(x)=x^2\) fra definisjonen.

\(f'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}\)

\(=\lim_{h\to 0}\dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\)

\(=\lim_{h\to 0}\dfrac{2xh+h^2}{h}=\lim_{h\to 0}(2x+h)\)

\(=2x\)

Standardderiverte

\[\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\qquad \frac{d}{dx}e^x=e^x\qquad \frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}\]

\[\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a\]

\[\frac{d}{dx}\sin x=\cos x\qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x\qquad \frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{\cos^2 x}\]

\[\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\qquad \frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\qquad \frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}\]

Produkt-, kvotient- og kjerneregel

Produktregel: \((uv)'=u'v+uv'\)

Kvotientregel: \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)

Kjerneregel: \(\dfrac{d}{dx}g(h(x))=g'(h(x))\cdot h'(x)\)

Eksempel 2: Deriver \(f(x)=\dfrac{e^x}{x}\) med kvotientregelen.

\(u=e^x,\ v=x\Rightarrow u'=e^x,\ v'=1\)

\(f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}\)

\(=\dfrac{e^x(x-1)}{x^2}\)

Eksempel 3: Deriver \(f(x)=\sqrt{x^2+1}\) med kjerneregelen.

Skriv \(f=(x^2+1)^{1/2}\)

Ytre derivert: \(\tfrac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2}\); indre derivert: \(2x\)

\(f'=\tfrac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)

Implisitt derivasjon

Når \(y\) er gitt implisitt, deriver begge sider mhp \(x\) og behandl \(y\) som funksjon av \(x\). Hvert \(y\)-ledd gir en faktor \(\frac{dy}{dx}\).

Eksempel 4: Finn \(\frac{dy}{dx}\) for \(x^2+y^2=25\).

Deriver: \(2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0\)

Løs: \(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}\)

I \((3,4)\): \(\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}\)

Logaritmisk derivasjon

Brukes når både grunntall og eksponent inneholder \(x\). Ta \(\ln\) på begge sider og deriver implisitt.

Eksempel 5: Deriver \(f(x)=x^x\).

\(\ln f=x\ln x\)

Deriver: \(\dfrac{f'}{f}=\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1\)

\(f'=x^x(\ln x+1)\)

Høyere ordens deriverte

\(f''=\frac{d}{dx}f'\), \(f'''\) osv. Andrederiverte gir krumning: \(f''>0\) konveks, \(f''<0\) konkav. For \(e^{kx}\) gjelder \(\frac{d^n}{dx^n}e^{kx}=k^n e^{kx}\).

Studieguide: Derivasjon og deriverregler

Studieguide: Derivasjon og deriverregler