Hva er en differensiallikning av 1. orden?

En differensiallikning av 1. orden knytter en ukjent funksjon \(y(x)\) til dens deriverte \(y'\). Ordenen bestemmes av høyeste deriverte — her bare \(y'\). Den generelle løsningen inneholder alltid én vilkårlig konstant \(C\), som låses av en initialbetingelse \(y(x_0)=y_0\) (initialverdiproblem).

Separable likninger

En likning er separabel hvis den kan skrives \(\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)\). Da separerer du variablene og integrerer:

\[\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx\]

Husk å sjekke om \(h(y)=0\) gir egne (konstante) løsninger.

Eksempel 1: Løs \(y'=xy\) med \(y(0)=2\).

Separer: \(\dfrac{dy}{y}=x\,dx\)

Integrer: \(\ln|y|=\dfrac{x^2}{2}+C\)

Løs for \(y\): \(y=Ae^{x^2/2}\)

Initialbetingelse: \(y(0)=A e^{0}=A=2\)

Svar: \(y=2e^{x^2/2}\)

Lineære likninger med integrerende faktor

En likning på standardform \(y'+P(x)\,y=Q(x)\) løses med integrerende faktor:

\[\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}\]

Etter multiplikasjon blir venstresiden \((\mu y)'\), så

\[(\mu y)' = \mu Q \quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{\mu}\left(\int \mu Q\,dx + C\right)\]

Viktig: koeffisienten foran \(y'\) må være 1 — del på den først hvis ikke.

Eksempel 2: Løs \(y'+2y=e^{x}\) med \(y(0)=1\).

Her \(P=2\), så \(\mu=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}\)

Multipliser: \((ye^{2x})'=e^{x}\cdot e^{2x}=e^{3x}\)

Integrer: \(ye^{2x}=\dfrac{1}{3}e^{3x}+C\)

Del på \(e^{2x}\): \(y=\dfrac{1}{3}e^{x}+Ce^{-2x}\)

\(y(0)=\dfrac13+C=1 \Rightarrow C=\dfrac23\)

Svar: \(y=\dfrac{1}{3}e^{x}+\dfrac{2}{3}e^{-2x}\)

Anvendte modeller

Mange fysiske prosesser gir 1. ordens likninger:

Eksponentiell vekst/henfall: \(y'=ky \Rightarrow y=Ce^{kx}\)

Newtons avkjøling: \(T'=-k(T-T_{omg}) \Rightarrow T=T_{omg}+(T_0-T_{omg})e^{-kt}\)

Fall med luftmotstand: \(v'=g-kv\), grensefart \(v_\infty=\dfrac{g}{k}\)

Logistisk vekst: \(P'=rP\left(1-\dfrac{P}{K}\right)\), bærekapasitet \(K\)

Eksempel 3: Et objekt faller med \(v'=9{,}81-0{,}2v,\ v(0)=0\). Finn grensefart og \(v(t)\).

Grensefart: \(v'=0 \Rightarrow 9{,}81-0{,}2v=0 \Rightarrow v_\infty=\dfrac{9{,}81}{0{,}2}=49{,}05\)

Lineær: \(\mu=e^{0{,}2t}\), \((ve^{0{,}2t})'=9{,}81e^{0{,}2t}\)

Integrer: \(ve^{0{,}2t}=49{,}05e^{0{,}2t}+C\)

\(v=49{,}05+Ce^{-0{,}2t}\); \(v(0)=0 \Rightarrow C=-49{,}05\)

Svar: \(v=49{,}05\,(1-e^{-0{,}2t})\)

Likevekt og grenseverdi uten å løse likninga

For \(y'=f(y)\) er likevektsløsningene de konstante \(y=c\) der \(f(c)=0\). Du trenger ikke integrere. En likevekt \(y^*\) er stabil hvis \(f'(y^*)<0\) (løsninger nærmer seg den), ustabil hvis \(f'(y^*)>0\). Konvergerer en løsning, er grenseverdien en (stabil) likevekt.

Eksempel 4: Logistisk \(P'=0{,}5P\left(1-\dfrac{P}{100}\right)\). Finn likevekter, stabilitet og \(\lim_{t\to\infty}P(t)\) for \(P(0)=10\).

Likevekter: \(0{,}5P(1-\tfrac{P}{100})=0 \Rightarrow P=0\) eller \(P=100\)

\(f(P)=0{,}5P-0{,}005P^2,\ f'(P)=0{,}5-0{,}01P\)

\(f'(0)=0{,}5>0\Rightarrow\) ustabil; \(f'(100)=-0{,}5<0\Rightarrow\) stabil

\(P(0)=10\) ligger mellom, vokser mot stabil likevekt

Svar: \(\lim_{t\to\infty}P(t)=100\)

Eulers metode (numerisk)

Når en likning ikke kan løses analytisk, brukes Eulers metode:

\[y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n),\qquad x_{n+1}=x_n+h\]

Man følger tangenten med stigning \(f(x_n,y_n)\) over et steg av lengde \(h\). Mindre \(h\) gir mindre feil.

Eksempel 5: \(y'=x+y,\ y(0)=1,\ h=0{,}1\). Finn \(y_1\) og \(y_2\).

\(y_1=y_0+h\,f(x_0,y_0)=1+0{,}1(0+1)=1{,}1\)

\(x_1=0{,}1\)

\(y_2=y_1+h\,f(x_1,y_1)=1{,}1+0{,}1(0{,}1+1{,}1)=1{,}1+0{,}12=1{,}22\)

Studieguide: Differensiallikninger av 1. orden

Studieguide: Differensiallikninger av 1. orden