Hva er en 2. ordens differensiallikning?

En lineær 2. ordens differensiallikning med konstante koeffisienter har formen \(ay'' + by' + cy = f(x)\), der \(a, b, c\) er konstanter og \(a \neq 0\). Hvis \(f(x) = 0\) kalles likningen homogen; ellers er den inhomogen. Disse likningene dukker opp overalt i ingeniørfag — fra svingninger i mekaniske systemer til strøm i RLC-kretser.

Karakteristisk likning: Bytt ut \(y''\to r^2\), \(y'\to r\), \(y\to 1\) i den homogene likningen:

\[ar^2 + br + c = 0\]

Røttene avgjør formen på den homogene løsningen. Diskriminanten er \(D = b^2 - 4ac\).

De tre rottilfellene

1. To ulike reelle røtter (\(D > 0\)): \(y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}\)

2. Dobbel reell rot (\(D = 0\)): \(y = (C_1 + C_2 x)e^{rx}\)

3. Komplekse røtter \(r = \alpha \pm \beta i\) (\(D < 0\)): \(y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)\)

Eksempel 1: Løs \(y'' + 2y' + 5y = 0\).

Karakteristisk likning: \(r^2 + 2r + 5 = 0\)

\(abc\)-formelen: \(r = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2}\)

\(= \dfrac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i\)

Komplekse røtter med \(\alpha = -1\), \(\beta = 2\)

Løsning: \(y = e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\sin 2x)\)

Inhomogene likninger: ubestemte koeffisienter

Den generelle løsningen av en inhomogen likning er \(y = y_h + y_p\). Her er \(y_h\) den fullstendige homogene løsningen (med \(C_1, C_2\)), og \(y_p\) er én partikulærløsning. For å finne \(y_p\) velger vi en ansats av samme type som \(f(x)\):

Ansatser etter høyreside \(f(x)\):

\(e^{kx}\) \(\Rightarrow\) \(y_p = Ae^{kx}\)

\(\sin kx\) eller \(\cos kx\) \(\Rightarrow\) \(y_p = A\cos kx + B\sin kx\)

polynom av grad \(n\) \(\Rightarrow\) fullt polynom av grad \(n\)

Resonans: Hvis ansatsen allerede er en homogen løsning, multipliser med \(x\) (eller \(x^2\) ved dobbel rot).

Eksempel 2: Løs initialverdiproblemet \(y'' - 3y' + 2y = e^{3x}\), \(y(0) = 0\), \(y'(0) = 0\).

Homogen del: \(r^2 - 3r + 2 = (r-1)(r-2) = 0\), så \(r = 1, 2\)

\(y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x}\)

Partikulær: ansats \(y_p = Ae^{3x}\), \(y_p' = 3Ae^{3x}\), \(y_p'' = 9Ae^{3x}\)

Innsatt: \((9 - 9 + 2)Ae^{3x} = e^{3x} \Rightarrow 2A = 1 \Rightarrow A = \tfrac{1}{2}\)

Generell løsning: \(y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + \tfrac{1}{2}e^{3x}\)

\(y(0) = C_1 + C_2 + \tfrac{1}{2} = 0\)

\(y' = C_1 e^x + 2C_2 e^{2x} + \tfrac{3}{2}e^{3x}\), \(y'(0) = C_1 + 2C_2 + \tfrac{3}{2} = 0\)

Subtraherer likningene: \(C_2 + 1 = 0 \Rightarrow C_2 = -2\), så \(C_1 = \tfrac{3}{2}\)

Svar: \(y = \tfrac{3}{2}e^x - 2e^{2x} + \tfrac{1}{2}e^{3x}\)

Eksempel 3 (resonans): Finn partikulærløsningen av \(y'' - 5y' + 6y = e^{2x}\).

Røtter: \(r^2 - 5r + 6 = 0 \Rightarrow r = 2, 3\). Her er \(2\) en rot, altså resonans

Bruk \(y_p = Axe^{2x}\)

\(y_p' = Ae^{2x}(1 + 2x)\), \(y_p'' = Ae^{2x}(4 + 4x)\)

Innsatt: \(Ae^{2x}[(4+4x) - 5(1+2x) + 6x] = e^{2x}\)

\(Ae^{2x}[4 + 4x - 5 - 10x + 6x] = Ae^{2x}(-1) = e^{2x}\)

\(-A = 1 \Rightarrow A = -1\), så \(y_p = -xe^{2x}\)

Initialverdiproblem

En 2. ordens likning har to integrasjonskonstanter, så vi trenger to betingelser — typisk \(y(x_0)\) og \(y'(x_0)\) — for å bestemme \(C_1\) og \(C_2\). Sett alltid betingelsene inn i HELE den generelle løsningen \(y = y_h + y_p\), ikke bare i \(y_h\).

Studieguide: Differensiallikninger av 2. orden

Studieguide: Differensiallikninger av 2. orden